武際可：力學(xué)同數(shù)學(xué)親如手足

　　1987年，正好是牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》出版300周年。為了紀念這件事，《力學(xué)與實踐》上發(fā)表了朱照宣教授的文章《牛頓《原理》300年祭》。文中說：“《原理給出的運動定理和萬有引力定律，不可能在中國固有的科學(xué)技術(shù)傳統(tǒng)中得出。中國的歷史文獻中，始終沒有加速度這種概念，中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)也沒有為產(chǎn)生加速度和萬有引力概念提供必要的工具 圓錐曲線理論……，在歐洲，圓錐曲線理論這一工具是現(xiàn)成的，早在古希臘，阿波羅尼（Apollonius，約公元前260年 190年）在他的《圓錐曲線論》專著中列出了400個命題……”這段話生動地說明了力學(xué)的發(fā)展需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)的條件。

　　從另一方面，我們在俄羅斯數(shù)學(xué)力學(xué)家В.И.阿諾爾得的著名教科書《經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法》（齊民友譯，1992年高等教育出版社）的序言中看到：“許多現(xiàn)代的數(shù)學(xué)理論都來自力學(xué)問題，后來才有了公理化的抽象形式，使它們很難讀了。”這又說明數(shù)學(xué)的發(fā)展同樣以力學(xué)的發(fā)展為條件的。

　　數(shù)學(xué)同力學(xué)兩個學(xué)科的這種親密關(guān)系，其實在古代許多力學(xué)家和數(shù)學(xué)家就認識到了。古人的許多精辟見解對我們現(xiàn)在處理數(shù)學(xué)和力學(xué)的關(guān)系，也還是有教益的。

　　意大利文藝復(fù)興時期的著名藝術(shù)家和學(xué)者達·芬奇，雖然他留給世人的數(shù)學(xué)和力學(xué)的工作并不很多，但是他那種重視數(shù)學(xué)同力學(xué)結(jié)合的觀點卻是影響深遠的。他認為：“大自然按數(shù)學(xué)規(guī)律運轉(zhuǎn)，自然界的力和動作必須通過數(shù)學(xué)的研究來探討”。其實，文藝復(fù)興時期的這種思想也不是新的，而是有它深遠的歷史淵源的。早在古希臘，大哲學(xué)家柏拉圖（約公元前428年 348年）就說過：“數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界的核心”。這一思想將物理世界與數(shù)學(xué)緊密結(jié)合，一直是推動數(shù)學(xué)與力學(xué)發(fā)展的主導(dǎo)。

　　1543年，哥白尼從劃時代的天文著作《天體運行論》出版時，出版商在扉頁上寫了一小段廣告，它的最后一句話是：“沒有學(xué)過幾何的人，不準入內(nèi)�！痹摃鴮嶋H上是一本講述天體運動學(xué)的書，這句話準確地說明了運動學(xué)與幾何學(xué)的依存關(guān)系。

　　意大利文藝復(fù)興時期的科學(xué)和技術(shù)，隨著由羅馬派來中國的傳教士，也部分地被帶到了中國。1607年（明萬歷35年）徐光啟與傳教士利瑪竇合譯了歐幾里德《幾何原本》的前6章，徐光啟在序言中說：“此書為益，能令學(xué)理者祛其浮氣、練其精心，學(xué)事者資其定法、發(fā)其巧思，故舉世無一人不當(dāng)學(xué)。……，竊意百年之后，必人人習(xí)之，即又以為習(xí)之晚也�！敝袊�的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)比較重視計算，而幾何論證和邏輯推理是相對薄弱的。徐光啟在這里大力提倡學(xué)幾何學(xué)，雖然引起了一些反應(yīng)，例如康熙皇帝就將《幾何原本》讀了12遍，但終于因為沒有從教育制度上加以改革，仍然沒能普及�，F(xiàn)在看來，雖然民國以后在中學(xué)逐步開始講授幾何學(xué)，卻依然不得不“以為習(xí)之晚也�！�

　　1627年（明天啟7年）王征與傳教士鄧玉函（瑞士人）合譯了力學(xué)著作《遠西奇器圖說》，這是我國出版的最早的力學(xué)著作。這本書對數(shù)學(xué)同力學(xué)的關(guān)系闡述得非常好，書中說：“造物主生物有數(shù)、有度、有重，物物皆然。數(shù)即算學(xué)，度乃測量學(xué)，重則此力藝之重學(xué)也。重有重之性理，以此重較彼重之多寡則資算學(xué)，以此重之形體較彼重之形體大小，則資測量學(xué)。故數(shù)學(xué)、度學(xué)，正重學(xué)之所必須，蓋三學(xué)皆從理性而生，如兄弟內(nèi)親不可相離也。”此處重學(xué)、力藝即現(xiàn)今的力學(xué)，該書主要內(nèi)容是靜力學(xué)與簡單機械。這段話把力學(xué)、算學(xué)（即計算、數(shù)學(xué)）、度學(xué)（即測量學(xué)、幾何學(xué)）三者的親密關(guān)系闡述和比喻得很好。書中還說：“天下之學(xué)，或有全美，或有半美。不差者固多，差之者亦不少也。惟算數(shù)測量，毫無差謬。而此力藝之學(xué)根于度數(shù)之學(xué)，悉從測量算數(shù)而作，種種皆有理有法，故最確當(dāng)毫無差謬者，惟此學(xué)為然�！边@段話又將力學(xué)同數(shù)學(xué)、幾何學(xué)之精確推理聯(lián)系起來，所以認定力學(xué)是沒有誤差的學(xué)科，也就是今天所說的精密學(xué)科，因而它是完美的學(xué)科。在這里書中把追求精密同追求科學(xué)美結(jié)合在一起了。

　　經(jīng)典力學(xué)的奠基人之一，牛頓在他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，是這樣說的：“幾何學(xué)是建立在力學(xué)的實踐之上的，它無非是普通力學(xué)的一部分，能精確地提出并論證測量的方法。但因手藝主要應(yīng)用于物體的運動方面，所以通常認為幾何學(xué)涉及物體的大小，而力學(xué)則涉及它們的運動。在這個意義上，推理力學(xué)是一門能準確提出并論證不論何種力所引起的運動，以及產(chǎn)生任何運動所需要的力的科學(xué)�！睆倪@里可見，牛頓在闡述力學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系時，也是繼承了從古希臘到文藝復(fù)興的傳統(tǒng)說法，在這里他特別提到的是力學(xué)同幾何學(xué)的關(guān)系。

　　從發(fā)展歷史上來看，力學(xué)同數(shù)學(xué)的發(fā)展是同步的，或者說，有什么樣的數(shù)學(xué)就有什么樣的力學(xué)，反過來在一定的程度上也可以說有什么樣的力學(xué)就有什么樣的數(shù)學(xué)。力學(xué)的研究經(jīng)常是要了解客觀事物的質(zhì)和量兩個側(cè)面，而質(zhì)和量是不可分的。我們可以把從阿基米德開始在力學(xué)發(fā)展的不同階段，力學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系的特點歸納如下：

　　從阿基米德到斯梯芬時代，力學(xué)的研究內(nèi)容是靜力學(xué)。在幾何方面的主要工具是歐氏幾何。相應(yīng)的計算工具是常量的代數(shù)運算。

　　從伽利略、惠更斯到牛頓、萊布尼茲的時代，力學(xué)研究的主要內(nèi)容是自由質(zhì)點的運動，特別是解決在引力作用下的自由質(zhì)點的運動。在幾何方面的主要工具是解析幾何，特別是有關(guān)圓錐曲線的解析幾何。在計算方面的主要工具則是引進了變量，發(fā)明了微積分，而且微積分的發(fā)明人牛頓與萊布尼茲自己也是著名的力學(xué)家，是那個時期的力學(xué)學(xué)科的開拓者。

　　從拉格朗日到哈密爾頓和雅科比時代，力學(xué)主要的研究內(nèi)容是約束運動。在幾何方面的主要工具是引進了n維空間的概念，后來經(jīng)過黎曼的嚴格化，就是流形或黎曼幾何。而在分析方面的主要工具則是引進了泛函的概念，并且發(fā)展了求泛函極值的方法，也就是變分法，拉格朗日自己就是早期開拓變分法的主將。

　　在19世紀20年代，以法國一批著名學(xué)者為代表的群體，如納維、柯西等，發(fā)展了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，即流體力學(xué)和彈性力學(xué)。與此同時相應(yīng)地，在數(shù)學(xué)方面發(fā)展了偏微分方程的理論與求解方法。利用三角級數(shù)求解偏微分方程就是這一時期發(fā)展的。

　　在上一世紀末，力學(xué)又進入了一個重要的新階段，這就是以龐卡萊與李亞普諾夫為代表的發(fā)展動力系統(tǒng)的定性理論時代。定性理論與運動穩(wěn)定性的研究本來是從天體力學(xué)中提出來的一個理論課題，之后發(fā)現(xiàn)在一切力學(xué)系統(tǒng)中，甚至在由一切非線性常微分方程決定的系統(tǒng)中都有普遍理論與應(yīng)用意義。簡單說，定性理論是研究系統(tǒng)解的性質(zhì)隨參數(shù)而變化的方向，例如有沒有周期解的變化、有沒有極限環(huán)的變化、解穩(wěn)定與不穩(wěn)定的變化等等。相應(yīng)的幾何方面的主要工具就是拓撲學(xué)，而相應(yīng)的計算工具是同倫與外微分等。至今經(jīng)過了100多年的發(fā)展，它仍然是世界上都很關(guān)心的研究領(lǐng)域。

　　從20世紀40年代末電子計算機登上了歷史舞臺，特別是從60年代開始，計算力學(xué)形成獨立的學(xué)科。這個學(xué)科更是力學(xué)、數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)三個學(xué)科形成的交叉學(xué)科。力學(xué)、數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)的結(jié)合使這三個學(xué)科都產(chǎn)生了新的活力，涌現(xiàn)了一批新問題，得到了一批新成果。

　　事實上，在人類歷史上，我們可以舉出一大串第一流的學(xué)者，他們既是力學(xué)家又是數(shù)學(xué)家。如阿基米德、伽利略、牛頓、萊布尼茲、歐拉、拉格朗日、哈密爾頓、柯西、拉普拉斯、龐伽萊、柯爾莫戈羅夫等等。

　　這些力學(xué)歷史發(fā)展的事實說明，在力學(xué)發(fā)展的每一個關(guān)鍵時期，總是要同從前沒有研究過的數(shù)量模型打交道，力學(xué)家并不是去坐等數(shù)學(xué)家去解決好了才動手工作，而是自己深入到數(shù)學(xué)中去發(fā)明新的數(shù)學(xué)工具，或者在與數(shù)學(xué)家的合作中加以解決。因此，在整個力學(xué)史上，許多開拓新領(lǐng)域的大力學(xué)家也同時是大數(shù)學(xué)家。即使是沿著他們開拓的路子前進的后繼力學(xué)家，也必須熟悉前人發(fā)明的這些數(shù)學(xué)工具。

　　最早刊登于《力學(xué)與實踐》 1997年 3期 72-75

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