函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)方法探究與反思

　　摘 要：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，其判定方法在也是數(shù)學(xué)中相當(dāng)重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于高職院校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，如何讓其有效掌握高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性判別法，為函數(shù)單調(diào)性選擇更為簡(jiǎn)單的判定方法是本文探究的重點(diǎn)。
　　關(guān)鍵詞：?jiǎn)握{(diào)性 判別法 教學(xué)方法 反思
　　一、引言
　　函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，在初等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)通過(guò)作差法判別函數(shù)的單調(diào)性，但對(duì)于某些復(fù)雜函數(shù)或特殊函數(shù)，作差法并不能實(shí)現(xiàn)單調(diào)性的判別，因此在高等數(shù)學(xué)中，我們引入了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，但是如何能讓學(xué)生更容易掌握導(dǎo)數(shù)方法判別呢？這是值得探究和反思的。
　　二、單調(diào)性判別法的教學(xué)方法探究
　�。ㄒ唬┳鞑罘ǖ膬�(yōu)勢(shì)和弊端
　　設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋�，任取，且，恒有，則稱(chēng)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加；如果任取，且，恒有，則稱(chēng)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少。單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)。
　　在初等數(shù)學(xué)階段，我們對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的判別方法為定義判別法，即“作差法”，簡(jiǎn)單函數(shù)或一般函數(shù)可容易由其判斷出來(lái)。（由圖1所示）
　　圖1
　　但是，在實(shí)際教學(xué)和應(yīng)用中，我們“作差法”存在一些優(yōu)勢(shì)，但同時(shí)也存在一些弊端。
　　作差法優(yōu)勢(shì)：容易掌握；弊端：復(fù)雜函數(shù)或特殊函數(shù)無(wú)法判斷出單調(diào)性。
　　例1判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性。
　　解 因?yàn)榈亩�義域?yàn)�，則
　　任取且，作差得
　　根據(jù)假設(shè)，容易得出，因此判定在其定義域上單調(diào)增加。
　　例2 函數(shù)是否容易利用“作差法”判斷其單調(diào)性？
　　解 因?yàn)榈亩�義域?yàn)椋瑒t
　　任取且，作差得
　　但在上式中的正負(fù)無(wú)法確定，因此“作差法”無(wú)法判定其單調(diào)性。高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)判別法判別函數(shù)的單調(diào)性有效的解決了這一問(wèn)題。
　�。ǘ�）利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性?xún)?yōu)勢(shì)、弊端及授課反思
　　1.導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性?xún)?yōu)勢(shì)、弊端
　　定理 設(shè)函數(shù)在上連續(xù).在內(nèi)可導(dǎo).
　�。�1）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；
　�。�2）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少。
　　導(dǎo)數(shù)判別法判定函數(shù)單調(diào)性的優(yōu)勢(shì)在于它可以判斷復(fù)雜函數(shù)甚至一些相對(duì)抽象的函數(shù)容易判定其單調(diào)性。但是其弊端在于對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的職業(yè)院校學(xué)生來(lái)說(shuō)不易掌握。
　　2.導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性的授課反思
　　那么作為職業(yè)院校的教師應(yīng)該如何講授讓學(xué)生更容易理解呢？我認(rèn)為，在實(shí)際教學(xué)中，可從兩方面講授，以便學(xué)生視自己學(xué)習(xí)情況看哪種方法更易理解。
　　（1）利用拉格朗日中值定理理解判定定理
　　設(shè)是內(nèi)任意兩點(diǎn)，且，在上運(yùn)用拉格朗日中值定理得：
　　如果，則。因?yàn)�，所以有�?br>　　因此在上單調(diào)增加。
　　同理可證，在上單調(diào)減少。
　�。�2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解判定定理
　　我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。即
　　對(duì)于增加性不同的函數(shù)，它們每一點(diǎn)處切線斜率，或者說(shuō)導(dǎo)數(shù)有什么特點(diǎn)嗎？我們通過(guò)下圖來(lái)觀察一下。
　　圖2
　　在圖2-（1）中，是單調(diào)增加的，切線與夾角均為銳角，而銳角的正切值都是正值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，此時(shí)，因此判定是單調(diào)增加的條件為內(nèi)；在圖2-（2）中，是單調(diào)減少的，切線與夾角均為鈍角，而鈍角的正切值都是負(fù)值，此時(shí)，因此判定是單調(diào)增加的條件為內(nèi)。注：判斷時(shí)，和不影響判定結(jié)果。
　　例2中，“作差法”未能判定的單調(diào)性，下面我們利用導(dǎo)數(shù)試判定其單調(diào)性。
　　例3 利用導(dǎo)數(shù)判別法判定的單調(diào)性。
　　解 因?yàn)榈亩�義域?yàn)椋?而在上，
　　所以在其定義域上單調(diào)增加。
　　例4 確定的單調(diào)區(qū)間
　　解 的定義域?yàn)?求的導(dǎo)數(shù)的
　　.
　　解方程，得、
　　這兩個(gè)根把分成三個(gè)部分區(qū)間、及.
　　所以：在上單調(diào)增加. 在上單調(diào)遞減。
　　結(jié)語(yǔ)
　　本文對(duì)函數(shù)單調(diào)性初等數(shù)學(xué)階段的“作差”判別法和高等數(shù)學(xué)階段的導(dǎo)數(shù)判別法的優(yōu)點(diǎn)和弊端進(jìn)行了論證，在教學(xué)方法進(jìn)行了探究和反思，主要目的是為了在教學(xué)過(guò)程中使學(xué)生更好的掌握所學(xué)內(nèi)容，做到學(xué)以致用的。
　　參考文獻(xiàn)
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