耦合哈密頓系統(tǒng)的時間序列分析

　　摘要： 在研究許多物理模型問題中，人們對系統(tǒng)的具體結(jié)構(gòu)知之甚少，甚至往往不知道其動力學(xué)規(guī)律，而只是測得與系統(tǒng)性質(zhì)有關(guān)的某一變量隨時間變化的數(shù)據(jù)，這就是所謂時間序列或信號。這被測得的變量可以是系統(tǒng)的狀態(tài)變量之一，如細胞膜的內(nèi)外電位差或振動系統(tǒng)沿某一方向的位移，但也可能并不是系統(tǒng)的狀態(tài)變量而是與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的某一變量，如醫(yī)院里對人從體表測得的脈搏、心電圖、腦電圖、胃電圖、心音和肺音都是如此。在這種情況下，如何由這種時間序列確定系統(tǒng)的運動性質(zhì)和特征呢？人們用相空間重構(gòu)和功率譜的方法來對系統(tǒng)的性質(zhì)和特征進行分析判斷。本文章用這兩種方法對傾斜磁場下雙勢阱中粒子的運動模型做了進一步的分析。
　　Abstract： In many physical model of the problem， people know little about the specific structure of the system， often do not even know the dynamic rules， but only one related to the nature of the system variables can be measured data changes over time， this is called time series or signal. This is measured variables can is one of the state variables of the system， such as inside and outside of the cell membrane potential difference along a certain direction of displacement or vibration system， but also may not be the state of the system but one related to the system state variables， such as the hospital from the surface to the person pulse， ecg， eeg， electrogastrogram， heart and lung sounds. In this case， how to determine the nature and characteristics of the system by this time series？ The properties and characteristics of the system are analyzed and judged by means of phase space reconstruction and power spectrum. In this paper， the motion model of the particle in the two potential well in the tilted magnetic field is further analyzed.
　　關(guān)鍵詞： 時間序列分析；相空間重構(gòu)；功率譜
　　Key words： time series analysis；phase space reconstruction；power spectrum
　　中圖分類號：O4-0 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）14-0274-04

1 研究背景

　　目前已有較多的混沌研究方法，但許多方法對于一些內(nèi)部結(jié)構(gòu)不清楚或不易構(gòu)造其數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)來說，都束手無策。惟有相空間重構(gòu)法可由系統(tǒng)中測出某一單變量的時間序列，并用時間延遲技術(shù)重構(gòu)原系統(tǒng)的動力學(xué)特征，從而極大地提高了用物理實驗理解復(fù)雜系統(tǒng)的能力，而且它具有技術(shù)上的簡便性和數(shù)據(jù)的可獲取性[1]。雖然許多研究人員可以肯定混沌吸引子是某些隨機運動的根本原因，但他們更希望能從實驗數(shù)據(jù)中明確證明簡單混沌吸引子的存在，即如何看得見它。然而通常的試驗并不能記錄一個系統(tǒng)的所有方面，而僅僅是其中的少數(shù)方面，一般只能得到一維的標(biāo)量信號，人們遇到的首要任務(wù)是如何根據(jù)有限的數(shù)據(jù)“重構(gòu)”吸引子。Takens指出，系統(tǒng)中任一分量的演化都是由與之相互作用著的其他分量所決定的。因此，這些相關(guān)分量的信息就隱含在任一分量的發(fā)展過程之中。Packard等人提出的時間延遲思想，能重構(gòu)出觀測到的動力學(xué)系統(tǒng)的相空間，這對于不能直接測量深層的自變量而僅僅知道一組單變量時間序列的研究人員來說，也有了研究系統(tǒng)的動力行為的可能。假設(shè)在某動力系統(tǒng)中，唯一可觀察到的是單變量時間序列x（t），為了研究這個時間序列的動力模型，可以重構(gòu)相空間。這個時間序列過去的性態(tài)含有現(xiàn)在狀態(tài)的信息，這個信息可以表示為維數(shù)為m的時延向量：

2 相空間重構(gòu)

　　相空間重構(gòu)可把具有混沌特性的時間序列重建為一種低階非線性動力學(xué)系統(tǒng)，它是非線性時間序列分析的重要步驟。重構(gòu)的質(zhì)量直接影響到模型的建立和預(yù)測，延遲時間T和嵌入維數(shù)m的選擇是相空間重構(gòu)的兩個重要參數(shù)。對所研究系統(tǒng)我們選擇角度等于65度，參數(shù)a=c=1，同樣選取初始條件p1=0.5，p2=1.2，q1=1.2，q2=0.5來重構(gòu)它的相空間。從方程中得到一時間序列q2，其中q2的波形和原相圖如圖1 所示。由圖1中（a）可以看出，它是一個具有隨機性的非周期信號。該系統(tǒng)的狀態(tài)空間相圖如圖1（b）所示，從狀態(tài)空間相圖可看出此方程的解屬于混沌狀態(tài)。選取p從3到450分別作為重構(gòu)時延進行二維相空間重構(gòu)，畫出部分相圖如圖2所示。由圖2可以看出，當(dāng)p取96時與原相圖具有良好的逼近性。把原相圖與重構(gòu)圖做比較（圖3），我們得知盡管重構(gòu)變換使得運動相圖形狀、大小發(fā)生了變化，但運動相圖許多根本的動力特性并沒有改變，仍然是混沌的。

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