積分歷史

積分歷史篇一：微積分的歷史

微積分的歷史

趙子番 PB07210204

我們學習了一年的微積分學了，對整個微積分的框架已經(jīng)了一定的掌握，首先學習函數(shù)的極限，進而學習了單變量與多變量函數(shù)的微分學與積分學，場論，級數(shù)，傅立葉分析，最后學習了解微分方程。當我們再回首時，感覺自己學到了很多東西，很有一種成就感。可是細細想來，總覺得缺點什么。猛然發(fā)現(xiàn)，我們對數(shù)學或者說微積分史了解得太少了，書上的大部分定理、公式均冠以創(chuàng)立者之名，但均不加以注釋，以至于我們不知其為何許人也。

所以筆者認為，只有對微積分發(fā)展歷史有所了解，才會對這個學科有更深入更全面的認識。知道千百年來先輩們是怎樣經(jīng)過艱苦卓絕的奮才取得的今天的成果，必然會對他們肅然起敬。

經(jīng)各種途徑的搜集整理，現(xiàn)向同學們介紹幾位在微積分史上有過豐功偉績的幾位數(shù)學大家。

首先介紹一下笛卡爾。恩格斯曾這樣評價過笛卡爾：數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辨證法進入了數(shù)學，有了數(shù)學，微分和積分也就立刻成為必要的了�？梢赃@樣說，笛卡爾是微積分學的開山鼻祖。

笛卡爾是法國數(shù)學家、哲學家、物理學家、生理學家。1596年3月31日生于圖倫省埃拉；1650年2月11日卒于瑞典斯德哥爾摩。笛卡爾自幼養(yǎng)成了寧靜好思的習慣，他對周圍的世界充滿了好奇心。笛卡爾對數(shù)學的最大貢獻是創(chuàng)立了解析幾何學。他認為數(shù)學比其他科

學更符合理性的要求。他是以下列三種身份的結合來研究數(shù)學的。作為哲學家、作為自然界的探索者，作為一個關心科學用途的人。它的基本思想是建立起一種普遍的數(shù)學，使算數(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他曾經(jīng)說過：“我決心放棄那種僅僅是抽象的幾何，這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習思維的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于揭示自然現(xiàn)象的幾何�！钡芽�爾在幾何學所闡發(fā)的思想，被MILL稱作“精密科學進步中最偉大的一步”。

笛卡爾的理論以兩個觀念為基礎：坐標觀念和利用坐標方法把帶有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線。笛卡爾的功績是把數(shù)學中的兩個研究對象“形”與“數(shù)”統(tǒng)一起來，并在數(shù)學中引入變量，完成了數(shù)學史上一項劃時代的變革。正是基于此，也就有了恩格斯上述對笛卡爾的評價。

應當指出，笛卡爾的坐標系是不完備的，他未曾引入第二條坐標軸，即y軸。另外，笛卡爾也沒考慮橫坐標的負值。當然，我們不能苛求過多，任何事物都是在不斷發(fā)展中逐步完善的。

笛卡爾孜孜不倦，勤于思考，他不喜歡讀帶有詳細解釋的科學論著。他讀書的方法是把書拿來后，先弄清作者的主要意圖，他只讀完開頭部分，而那些應由作者得出的結論，他總是力求自己得出。

不僅僅在自然科學上笛卡爾取得的成就令我們欽佩，在感情上笛卡爾做到了禁欲，終身未娶。

笛卡爾有句名言：天下之理，非見之極明，勿遽下斷言。他還強調(diào)：沒有正確的方法，即使有眼睛的博學者也會向瞎子一樣盲目探索。

笛卡爾之后，又出現(xiàn)了一批偉大的數(shù)學家，比如費馬，托里拆利、帕斯卡、惠更斯，還有對微積分學做出巨大貢獻的牛頓、萊布尼茨。牛頓-萊布尼茨公式?b

a由于對這兩f(x)dx?F(x)|a貫穿了整個微積分學。b

人大家耳熟能詳，故不作過多介紹。

牛頓、萊布尼茨之后，歷史迎來了偉大的泰勒�？巳R因曾評價泰勒說：“泰勒實際上是用無窮小量進行運算，同萊布尼茨一樣認為其中沒有什么問題�！边@實際上是在評價泰勒的偉大貢獻之一—泰勒級數(shù)。 泰勒1685年生于英國埃德蒙頓；1731年12月29日卒于倫敦。泰勒幼年之青年一段時間的求學這路很平坦順利。泰勒和牛頓、哈雷都是親密的朋友，也是牛頓流數(shù)法的一位擁護者和推廣者。

泰勒1715年出版了《增量法及其逆》，在本書中“他力圖搞清微積分的思想，但他把自己局限于代數(shù)函數(shù)和代數(shù)微分方程�！钡�他沒有意識到，在處理無窮級數(shù)時，必須先考慮他的收斂性。開始，泰勒級數(shù)的重要性并未引起人們的注意，直到1755年歐拉把泰勒級數(shù)用于他的微分學時才認識到其價值；稍后拉格朗日用帶余項的級數(shù)作為其函數(shù)理論的基礎，從而進一步確定泰勒級數(shù)的重要地位。1880年，維爾斯特拉斯又把泰勒級數(shù)引進為一個基本概念，用現(xiàn)代術語來講，泰勒級數(shù)是解析函數(shù)芽。

泰勒對科學的貢獻本質上要比那個以他的姓氏命名的級數(shù)大得多。他在《皇家社會報》上發(fā)表過關于物理學、動力學、流體動力學、磁學和熱學方面的論文。他還是一位多才多藝，富有才華的音樂家和畫家。

但成年之后的泰勒人生病不如意，一聲深受疾病即悲劇事件的困擾。第一個妻子因出身貧寒而遭到具有門閥觀念的父親的冷遇，導致父子之間激烈的爭吵與不合，妻子不久死于分娩。第二個妻子后來亦死于分娩。愛妻的不幸逝世、父子的不和、疾病的折磨使他痛苦不堪。到了晚年，為了解脫，便把精力與愛好轉向了宗教與神學。

在這種困難異常的情況下，泰勒仍然取得如此巨大的成就，實在令我們這些花前月下的大學生們感到慚愧。

泰勒之后，又出現(xiàn)了斯特林、邁克勞林、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等一大批對數(shù)學產(chǎn)生過深遠影響的數(shù)學家�？梢哉f，是他們，推動了整個世界、整個人類的發(fā)展與進步。

其實我們很有必要去了解一下微積分的歷史，龐加萊曾說：如果我們想要預見數(shù)學的未來，適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史和現(xiàn)在。的確，只有了解了微積分的歷史，了解了那些偉大數(shù)學家們的鉆研精神，我們才能夠以一種更為闊達的心態(tài)去學習微積分，去學好微積分。

積分歷史篇二：微積分的歷史

微積分的歷史

從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣�！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。

十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題，一個是求積問題。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。

牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。

德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響�，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。

牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。

直到１９世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發(fā)展開來。

積分歷史篇三：微積分產(chǎn)生的歷史背景

微積分產(chǎn)生的歷史背景

數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分學和積分學也就立刻成(來自:www.zuancaijixie.com 蒲公 英文 摘:積分歷史)為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是有牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。

恩格斯

從15世紀初歐洲文藝復興時期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟時代，宗教改革與對教會思想禁錮的懷疑，東方先進的科學技術通過阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻的流入歐洲，在當時的知識階層面前呈現(xiàn)出一個完全斬新的面貌。而十六世紀的歐洲，正處在資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實踐的發(fā)展向自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎學科的發(fā)展，而這些學科都是深刻依賴于數(shù)學的，因而也推動的數(shù)學的發(fā)展。科學對數(shù)學提出的種種要求，最后匯總成車個核心問題：

（1） 運動中速度與距離的互求問題（幾何演示）

即，已知物體移動的距離S表為時間的函數(shù)的公式S=S（t）,求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時間的函數(shù)的公式，求速度和距離。這類問題是研究運動時直接出現(xiàn)的，困難在于，所研究的速度和加速度是每時每刻都在變化的。比如，計算物體在某時刻的瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬間，物體移動的距離和所用的時間是0，而0/0是無意義的。但是，根據(jù)物理，每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度，這也是無疑的。已知速度公式求移動距離的問題，也遇到同樣的困難。因為速度每時每刻都在變化，所以不能用運動的時間乘任意時刻的速度，來得到物體移動的距離。

（2） 求曲線的切線問題（幾何演示）

這個問題本身是純幾何的，而且對于科學應用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光學是時十七世紀的一門較重要的科學研究，透鏡的設計者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直于切線的，所以總是就在于求出法線或切線；另一個涉及到曲線的切線的科學問題出現(xiàn)于運動的研究中，求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向，即軌跡的切線方向。

（3） 求長度、面積、體積、與重心問題等（幾何演示）

這些問題包括，求曲線的長度（如行星在已知時期移動的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心，一個相當大的物體（如行星）作用于另一物體上的引力。實際上，關于計算橢圓的長度的問題，就難住數(shù)學家們，以致有一段時期數(shù)學家們對這個問題的進一步工作失敗了，直到下一世紀才得到新的結果。又如求面積問題，早古希臘時期人們就

用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線y?x2在區(qū)間[0，1]上與x軸和直線x=1所圍成的面積S，他們就采用了窮竭法。當n越來截越小時，右端的結果就越來越接近所求的面積的精確值。但是，應用窮竭法，必須添上許多技藝，并且缺乏一般性，常常得不到數(shù)字解。當Archimedes的工作在歐洲聞名時，求長度、面積、體積和重心的興趣復活了。窮竭法先是逐漸地被修改，后來由于微積分的創(chuàng)立而根本地修改了。

（4） 求最大值和最小值問題（幾何演示）

炮彈在炮筒里射出，它運行的水平距離，即射程，依賴于炮筒對地面的傾斜角，即發(fā)射角。一個“實際”的問題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。十七世紀初期，Galileo斷定（在真空中）最大射程在發(fā)射角是45?時達到；他還得出炮彈從各個不同角度發(fā)射后所達到的不同的最大高度。研究行星的運動也涉及到最大值和最小值的問題，例如求行星離開太陽的最遠和最近距離。

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