級(jí)數(shù)與微積分|微積分級(jí)數(shù)

　　摘要：微積分的發(fā)展與無窮級(jí)數(shù)的研究密不可分，它們?cè)诜椒ê屠碚撋鲜枪餐�發(fā)展和成熟起來的，且在其發(fā)展過程中吸引了許多數(shù)學(xué)家對(duì)它們的研究并帶來了豐碩的成果。 　　關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)；微積分；等價(jià)物；研究；發(fā)展
　　中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
　　
　　級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)分支，它與微積分一起構(gòu)成數(shù)學(xué)分析的兩部分基本內(nèi)容，兩者都是以極限為基本工具，分別從連續(xù)和離散兩個(gè)方面來研究函數(shù)，這在認(rèn)識(shí)自然或方法論角度都具有基本的重要意義。
　　從純數(shù)量上，一個(gè)無窮級(jí)數(shù)等同于一個(gè)無窮限的廣義積分。
　　微積分的發(fā)展與無窮級(jí)數(shù)的研究密不可分。特別是在牛頓、萊布尼茲創(chuàng)建微積分初期，很大程度上是依賴于對(duì)級(jí)數(shù)的隨意的、自由的使用，牛頓在他的流數(shù)論中自由運(yùn)用無窮級(jí)數(shù)，他憑借二項(xiàng)式定理得到了sinx，cosx，tanx，arcsinx，arctanx和ex等許多函數(shù)的級(jí)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)則提供了將函數(shù)展成無窮級(jí)數(shù)的一般方法。在18世紀(jì)，各種初等函數(shù)的級(jí)數(shù)展開陸續(xù)得到，并在解析運(yùn)算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具，級(jí)數(shù)和微積分在方法和理論上是共同發(fā)展和成熟起來的。
　　級(jí)數(shù)被視為無窮多項(xiàng)式，這新概念中的困難，很長(zhǎng)時(shí)期沒有被認(rèn)識(shí)，歐拉•拉格朗日曾相信每個(gè)函數(shù)都顯然的可以表示為級(jí)數(shù)，并從此出發(fā)建立微積分理論，盡管這沒能成功，而作為一種數(shù)學(xué)方法的成長(zhǎng)，或作為從離散角度認(rèn)識(shí)自然的方法，卻是很重要的，積分與級(jí)數(shù)成為自然界連續(xù)和離散辨證關(guān)系的典型表現(xiàn)。
　　微積分創(chuàng)立的初期就為級(jí)數(shù)理論的開展提供了基本的素材。它通過自己的基本運(yùn)算與級(jí)數(shù)運(yùn)算的純形式的結(jié)合，達(dá)到了一批初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。從此以后級(jí)數(shù)便作為函數(shù)的分析等價(jià)物，用以計(jì)算函數(shù)的值。用以代表函數(shù)參加運(yùn)算，并以所得結(jié)果闡釋函數(shù)的性質(zhì)。在運(yùn)算過程中，級(jí)數(shù)被視為多項(xiàng)式的直接的代數(shù)推廣，并且也就當(dāng)作通常的多項(xiàng)式來對(duì)待。這些基本觀點(diǎn)的積極運(yùn)用一直持續(xù)到十九世紀(jì)初年，導(dǎo)致了豐碩的成果，這主要?dú)w功于歐拉，詹姆士，伯努利，拉格朗日，傅立葉。
　　同時(shí)，悖論性等式的不時(shí)出現(xiàn)促使人們逐漸地自覺到級(jí)數(shù)的無限多項(xiàng)之和有別于有限項(xiàng)之和這一基本矛盾，注意到函數(shù)的級(jí)數(shù)展開的有效性表現(xiàn)為級(jí)數(shù)的部分和無限趨近于函數(shù)值這一收斂現(xiàn)象，提出了收斂定義的確切陳述，從而開始了數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密化運(yùn)動(dòng)。
　　傅立葉在1811年的論文中，以及在他的《熱的解析理論》中，首先給出了無窮級(jí)數(shù)收斂的定義。
　　1812年高斯在他的論文《無窮級(jí)數(shù)的一般研究》中給出了超幾何級(jí)數(shù)F（α，β，γ，x）的收斂判別準(zhǔn)則。
　　以后柯西在他的“分析教程”中給出了著名的柯西收斂準(zhǔn)則，并給出了比值判別法和根式判別法。
　　1826年阿貝爾研究了冪級(jí)數(shù)的收斂問題，給出了著名的阿貝爾定理。
　　微積分基本運(yùn)算與級(jí)數(shù)運(yùn)算結(jié)合的需要，引導(dǎo)人們加強(qiáng)或縮小收斂性而提出一致收斂的概念，然而函數(shù)的級(jí)數(shù)展開，作為一整個(gè)函數(shù)的分析等價(jià)物，在收斂范圍以外的不斷的成功的使用，則又迫使人們推廣或擴(kuò)大收斂概念而提出漸近性與可和性。
　　十九世紀(jì)初期，法國(guó)科學(xué)家傅立葉在研究熱的傳導(dǎo)中，曾經(jīng)引入一類“周期性變化的”函數(shù)f（x）表示為無窮多個(gè)三角函數(shù)sinnx或cosnx（n=1，2，3…）的和。于是找出函數(shù)具有收斂的傅立葉級(jí)數(shù)的確切條件便成為數(shù)學(xué)家的首要任務(wù)。
　　迪里克雷于1822-1825年之間研究了傅立葉級(jí)數(shù)，并在一篇基本的論文“關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性”中給出了一個(gè)確定f（x）的傅立葉級(jí)數(shù)是收斂的并且收斂到f（x）的第一組充分條件，即迪里克雷條件。
　　1854年黎曼在哥廷根為取得大學(xué)教授資格寫了一篇試用短文，題目是《用三角級(jí)數(shù)來表示函數(shù)》，他的目的是找出函數(shù)f（x）必須滿足的充要條件使在區(qū)間[-π，π]中的一點(diǎn)處f（x）的傅立葉級(jí)數(shù)收斂到f（x）。黎曼還證明了基本定理：如果f（x）在[-π，π]上有界且可積，則傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)

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