數(shù)學模型與數(shù)學文化慢談（下）

　　二戰(zhàn)后，由于計算機等相關高科技的發(fā)展與進步，數(shù)學的發(fā)展在全世界的范圍被越來越重視。而且數(shù)學被越來越看作技術，而不僅僅是一門學科而已。數(shù)學與關鍵部門（哪些關系到國計民生的重要部門，如國防、軍事、航天、航空、石油、半導體、生存庫存……）的關系日益密切，數(shù)學技術的發(fā)展直接影響著這些部門的發(fā)展與力量。建立數(shù)學模型并在數(shù)模的基礎的計算成了中心的環(huán)節(jié)——即由數(shù)學技術轉化為生產力的中心環(huán)節(jié)。數(shù)學模型正是一種將理論與應用相結合的典范，這非常有利于我們更好的認識數(shù)學，了解數(shù)學，發(fā)展數(shù)學。

　　不僅在一些大的生產、要害部門，數(shù)學的地位日隆，就是我們的日常生活中也不是數(shù)學技術的進步給我們帶來的便利。比如IP電話的使用，其中的要害技術——數(shù)據(jù)的壓縮與解讀問題；
再如抽水馬桶的設計——如何讓其沖水音量小而又能沖得干凈卻是通過數(shù)學的計算與應用而實現(xiàn)的。盡管數(shù)學可以說是無處不在，但“什么是數(shù)學”或“數(shù)學是什么”的問題卻一直沒有個能被普遍認同的答案。美國或前蘇聯(lián)的一些極有影響的數(shù)學家在討論或著書 說討論“什么是數(shù)學”的問題時，一般的做法也只是把數(shù)學學科的各部門構成進行羅列，敘述一番，如算術、幾何、方程、數(shù)論、微積與理論等等。而唯物主義者恩格斯則認為：數(shù)學就是研究空間形式與數(shù)量關系的學問，哈代（Hardy）則更傾向于認為數(shù)學只是一門藝術，與琴棋書畫一般，跟外界事物沒有多少聯(lián)系。Hopper則認為數(shù)學就是替我們解決問題的好方法。真是各種各樣，難衷一是。而關于這問題的討論早就有了，就在二十世紀的大討論中，圍繞“數(shù)學是否真理”的問題展開大討論，基本上形成了三個流派：

　　一是以羅素、懷特海為代表的邏輯主義學派，他們認為數(shù)學是邏輯的一部分，而邏輯是真理，數(shù)學自然就是真理。真理是具有包容性的。邏輯的真理除了反映客觀世界規(guī)律的哪部分外，還包括通過推理演出來的“理性其理”。數(shù)學同樣具有這樣的特性。這樣一種態(tài)度與觀點在邏輯學界和數(shù)學界都同樣具有很重要的影響力。

　　第二學派是以布勞維爾為代表的直覺主義學派。說學派認為數(shù)學的真理唯一來源便是人的直覺，看其是否可以接受，它既不取決于經驗，也非來自理性，而是人的直覺。經驗是有功用的，理性也是能起作用的，但那只起到使人的直覺覺醒的作用，閃念的迸發(fā)。帕斯卡也說：心有其理，非理之所能知。而推理是愚蠢的人因為沒有通過直覺獲得真理，只好通過推理去發(fā)現(xiàn)真理。他們的觀點很大程度上受康德主義的影響�？档轮髁x認為，外物永遠是外物，只是人的認識與心智在變化，這種直覺主義主為人不可能獲得真理，真理是不可能存在的。

　　第三個流派是以希爾伯特爾為代表的形式主義。這正是現(xiàn)代數(shù)學教學與研究的主流流派，影響極為深刻。這一學派認為數(shù)學的各體系各自獨立，相容而且完備，盡力的發(fā)展每一部分便是數(shù)學之任務；
不用管客觀世界的問題，數(shù)學就是數(shù)學，與外界無涉，另外還認為在一般數(shù)學之上還有一個總的之數(shù)學(Meta-mathematics )的存在。

　　這三大學派的觀點很具代表性，可以說占主流的地位，但一直以來也同樣受著眾多的挑戰(zhàn)與趨向，先看看邏輯主義學派，羅素本人在1937年《數(shù)學原理》再版時已經認為邏輯并非全是真理，所以數(shù)學也并非全是真理。在其晚年，羅素走得更遠了，對數(shù)學非確定性的思考成了他思想的主題，盡管他的數(shù)理邏輯貢獻功不可沒。至于直覺主義，它否定“實無窮”，即所有的東西都是在一起的，實在的并且是完成的；
肯定潛無窮，即推理的、發(fā)展的、未完成的無窮，對于構造性數(shù)學，每一步都是有限的，從n, n+1, n+2, ……直至推進的無窮。對“選擇公理”，羅素舉了例子說：若有無窮雙鞋子，那么命題“取出左腳”是可以成立的，但若是所有無窮雙襪子就存在問題。直覺主義對襪子的編號解答也不滿意，認為人不可以對潛在襪子進行編號。而形式主義，則一直交著各方面的理論壓力，甚至挑戰(zhàn)。哥德爾的兩個定理基本葬送了希爾伯特關于真理獨立完備等觀念。即公理學說的相容性問題是無法證明的。愛因斯坦曾稱譽哥德爾是“亞里士多德以來對邏輯做過最大貢獻的人”。對邏輯的否定還得通過邏輯的形式，但不可以從邏輯上進行正誤判斷，因為絕對真理本就不存在。科萊茵《數(shù)學學科確立性的消失》是對形式主義的系統(tǒng)批判。

　　除了數(shù)學確立性問題外，數(shù)學還有個應用性問題。我們提倡數(shù)學的應用性，但并不排斥純數(shù)學，追求精神高雅的同時引出有用的東西。起源于古希臘的數(shù)學四門包括算術、幾何、天文、音樂，可算是綜合的學科，而像歐幾里德，阿基米德等大家都是綜合性大家�，F(xiàn)在數(shù)學里更有系統(tǒng)論、信息論、控制論等等。過分形式主義是歷史形成的，但我們不能只重形式，更要關注內容。在數(shù)學創(chuàng)造領域，既要有真理取向，也要有美學取向，實用取向等。鑒別與選擇有直覺的作用，但別忘記靈感是來源于積累。

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