兩種數(shù)量表征系統(tǒng)_兩種常見的數(shù)量關(guān)系

　　摘要 數(shù)量表征是人類數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，數(shù)量表征研究中的一個(gè)爭論焦點(diǎn)在于是否存在兩種不同的數(shù)量表征系統(tǒng)：對(duì)小數(shù)的精確表征系統(tǒng)和對(duì)大數(shù)的近似表征系統(tǒng)。通過綜述不同研究領(lǐng)域?qū)��?shù)量表征的研究，總結(jié)了支持兩種表征系統(tǒng)分離的證據(jù)：對(duì)1~3范圍內(nèi)小數(shù)的表征受數(shù)量大小的限制，基于指向物體本身的注意，更依賴于物體的知覺特征，對(duì)物體及其數(shù)量進(jìn)行精確表征；而對(duì)4以上的數(shù)量的近似表征系統(tǒng)則受韋伯定律的限制，基于指向數(shù)量的模擬幅度的表征，而不依賴單個(gè)物體的知覺特征，是對(duì)數(shù)量的近似的、心理的表征。fMRI、PET和ERP的腦成像研究結(jié)果迄今尚無定論，但認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)研究的深入開展將最終闡明數(shù)量表征的機(jī)制。
　　關(guān)鍵詞 數(shù)量表征，精確表征系統(tǒng)，“感數(shù)”，近似表征系統(tǒng)，空間注意。
　　分類號(hào) B842
　　
　　數(shù)學(xué)能力是人類重要的高級(jí)認(rèn)知能力，而對(duì)數(shù)量的表征則是獲得數(shù)的概念以及發(fā)展更高級(jí)的數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。數(shù)量表征系統(tǒng)如何進(jìn)化而來，在人的一生中又如何發(fā)展？作為一種基礎(chǔ)的認(rèn)知過程，數(shù)量表征有何特點(diǎn)？其神經(jīng)機(jī)制是什么？數(shù)量表征如何促進(jìn)數(shù)概念的發(fā)展？這些問題長期以來一直吸引著心理學(xué)家和神經(jīng)科學(xué)家的注意。其中一個(gè)特別有趣的問題是關(guān)于是否存在兩種不同數(shù)量表征系統(tǒng)：對(duì)小數(shù)（自然數(shù)1~3或4）的精確表征（precise representation）系統(tǒng)和對(duì)大數(shù)（≥4的自然數(shù)）的近似表征（approximate representation）或模擬幅度表征（analog magnitude representation）系統(tǒng)。
　　×早在1949年，Kaufman等人[1]就提出了“感數(shù)”（“subitizing”）這一概念，用來表示成人對(duì)小數(shù)快速而準(zhǔn)確的表征，其依據(jù)是在覺察1~3個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)陣列（dot arrays）中點(diǎn)的數(shù)量時(shí)其反應(yīng)時(shí)很短，反應(yīng)時(shí)隨數(shù)量的變化很�。�每個(gè)項(xiàng)目增加50~80ms），且基本沒有錯(cuò)誤發(fā)生；而在覺察3或4個(gè)以上點(diǎn)的數(shù)量（“計(jì)數(shù)”）時(shí)反應(yīng)時(shí)迅速增加（每個(gè)項(xiàng)目增加200ms）[2,3]，反應(yīng)時(shí)和正確率都呈現(xiàn)出伴隨數(shù)量增加的線形變化。在此基礎(chǔ)上，Piazza 等[4]指出在“感數(shù)”與“計(jì)數(shù)”范圍內(nèi)，反應(yīng)時(shí)和正確率隨數(shù)量的變化是不連續(xù)的，反映了“感數(shù)”與“計(jì)數(shù)”是本質(zhì)不同的過程。為了從個(gè)體發(fā)生學(xué)和種系發(fā)生學(xué)的角度了解數(shù)量表征能力的起源及實(shí)質(zhì)，對(duì)嬰兒[5~7]和動(dòng)物[8,9]的行為研究發(fā)現(xiàn)不具備語言能力的嬰兒和猴子也具有與成人的“感數(shù)”系統(tǒng)類似的小數(shù)精確表征系統(tǒng)；同時(shí)，研究證明成人[10,11]、嬰兒[12]和一些動(dòng)物[13,14]具有相同的大數(shù)近似表征系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，Hauser和Spelke[15]及Feigenson等[16]提出對(duì)小數(shù)的精確表征系統(tǒng)和對(duì)大數(shù)的近似表征系統(tǒng)是構(gòu)成人類數(shù)量表征的基礎(chǔ)的兩個(gè)核心系統(tǒng)。數(shù)量表征機(jī)制決定了數(shù)概念獲得的機(jī)制，盡管研究者從實(shí)驗(yàn)心理學(xué)、發(fā)展心理學(xué)、動(dòng)物行為學(xué)、腦成像等不同角度探討數(shù)量表征的機(jī)制，了解了數(shù)量表征系統(tǒng)的一些重要特征，但對(duì)于是否存在“感數(shù)”系統(tǒng)仍然沒有達(dá)成共識(shí)。
　　
　　1 成人的數(shù)量表征
　　
　　當(dāng)成人看見一個(gè)數(shù)量很多的物體集合時(shí)，如果不用口頭記數(shù)無法在短時(shí)間內(nèi)說出其準(zhǔn)確數(shù)量，這時(shí)成人表征物體的近似數(shù)量。這種近似表征系統(tǒng)遵守韋伯定律（Weber’s Law），表現(xiàn)在當(dāng)比較兩個(gè)大數(shù)量時(shí)，反應(yīng)時(shí)和正確率與兩個(gè)數(shù)量之間的比率相關(guān)：兩數(shù)的比率越大，反應(yīng)時(shí)越小，正確率越高[10]。進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)還證明該系統(tǒng)不受項(xiàng)目類型和感覺通道的影響。成人能夠?qū)Σ煌�類型的�?xiàng)目序列，包括較多數(shù)量的動(dòng)作序列[11]、聲音和閃光序列[17]，以及視空間序列（visual-spatial arrays）[10,17]進(jìn)行近似數(shù)量表征。而且通過不同感覺通道（視覺的或聽覺的）的大數(shù)表征均服從韋伯定律。這些結(jié)果說明成人對(duì)大數(shù)的表征是基于數(shù)量的模擬幅度（analog magnitude），而不是絕對(duì)數(shù)量，兩個(gè)數(shù)量大小越接近，噪音就越大，從而使表征的難度增大。
　　與此相對(duì)，當(dāng)成人在估計(jì)1~3個(gè)物體的數(shù)量時(shí)，其反應(yīng)時(shí)很短且隨數(shù)量變化很小，如前所述，這個(gè)數(shù)量表征過程被稱為“感數(shù)”，提示對(duì)小數(shù)的表征依賴于對(duì)項(xiàng)目的直接感知。但是對(duì)于“感數(shù)”范圍內(nèi)反應(yīng)時(shí)的功能卻存在爭論。盡管有研究者[7]認(rèn)為“感數(shù)”與“計(jì)數(shù)”范圍內(nèi)反應(yīng)時(shí)隨數(shù)量的變化不連續(xù)，反映了“感數(shù)”與“計(jì)數(shù)”的不同本質(zhì)，但是Balakrishnan和Ashby[18]在對(duì)大量行為結(jié)果統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上指出在小數(shù)和大數(shù)范圍內(nèi)數(shù)量表征的反應(yīng)時(shí)的不連續(xù)性不存在統(tǒng)計(jì)上的顯著性。Gallistel等[19]也對(duì)反應(yīng)時(shí)的不連續(xù)性提出質(zhì)疑，指出從數(shù)量1到2反應(yīng)時(shí)大約增加30ms，從2到3增加80ms，而從3到4增加200ms。從數(shù)量1到4增加的反應(yīng)時(shí)大約是300ms，達(dá)到了表征1個(gè)項(xiàng)目的反應(yīng)時(shí)間的一半，說明反應(yīng)時(shí)在1~3內(nèi)增加的幅度并不小，而且從2到3增加的反應(yīng)時(shí)總是比從1到2增加的反應(yīng)時(shí)大。他們認(rèn)為盡管在1~3范圍內(nèi)反應(yīng)時(shí)隨數(shù)量增大的增長較慢，但仍然保持著增長的趨勢(shì)，反應(yīng)時(shí)曲線既非平直也非線形遞增，并不支持“感數(shù)”依賴于直接感知而獨(dú)立于近似數(shù)量表征系統(tǒng)，即“感數(shù)”系統(tǒng)是不存在的。
　　關(guān)于反應(yīng)時(shí)連續(xù)性的爭論可以從另一個(gè)角度來解釋。Santee等[20]在視覺搜索任務(wù)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)刺激以很短的時(shí)間（幾百毫秒以內(nèi)）呈現(xiàn)時(shí)，正確率比反應(yīng)時(shí)更具有一致性。他們假設(shè)正確率對(duì)目標(biāo)刺激和干擾項(xiàng)之間的早期的知覺沖突敏感，而反應(yīng)時(shí)則對(duì)較晚的反應(yīng)沖突敏感。Prinzmental等[21]也指出在注意搜索過程中使用反應(yīng)時(shí)和正確率作為指標(biāo)可能產(chǎn)生不同的結(jié)果。因此在表征1~3范圍內(nèi)與表征4以上范圍內(nèi)的數(shù)量時(shí)反應(yīng)時(shí)的變化是否具有連續(xù)性或許并不適合用作判斷兩種數(shù)量表征系統(tǒng)的實(shí)質(zhì)是否相同的標(biāo)準(zhǔn)。
　　對(duì)于“感數(shù)”的本質(zhì)研究者提出了各種假設(shè)。Mandler和Shebo[2]假設(shè)“感數(shù)”的基礎(chǔ)是對(duì)熟悉模式的識(shí)別，因?yàn)?~4個(gè)點(diǎn)總是能形成熟悉的形狀：兩個(gè)點(diǎn)形成一條線，三個(gè)點(diǎn)形成三角形，四個(gè)點(diǎn)形成四邊形。Cowan[22]認(rèn)為“感數(shù)”只對(duì)小數(shù)起作用反映了短時(shí)記憶系統(tǒng)的能力有限。Trick和Pylyshyn[3]假設(shè)“感數(shù)”是基于有限的前注意平行加工（parellel processing）；而“計(jì)數(shù)”則是基于空間注意的串行加工（serial processing），并提示是否需要空間注意的參與可能是區(qū)分“感數(shù)”與“計(jì)數(shù)”的關(guān)鍵因素。但Gelman等[19]則反對(duì)兩種數(shù)量表征系統(tǒng)的劃分，他們認(rèn)為所謂的“感數(shù)”只是一種快速的數(shù)量表征，其實(shí)質(zhì)仍然是對(duì)數(shù)量的模擬幅度表征，因?yàn)樾��?shù)特別簡單，因而在對(duì)表征的提取過程中速度更快，正確率更高。他們指出數(shù)量表征的基礎(chǔ)是唯一的，即對(duì)數(shù)量的模擬幅度表征。
　　腦成像研究的結(jié)果為兩種數(shù)量表征系統(tǒng)的爭論提供了更為直接的證據(jù)。一方面，Sathian等[23]的PET研究報(bào)告“感數(shù)”激活了枕葉的外紋狀皮質(zhì)區(qū)，而“計(jì)數(shù)”則激活了廣泛的腦區(qū)，包括與視覺注意轉(zhuǎn)移有關(guān)的多個(gè)腦區(qū)――雙側(cè)頂上回和右側(cè)額下回，支持了前注意視覺加工和視覺注意轉(zhuǎn)移的加工過程的分離，即“感數(shù)”系統(tǒng)的獨(dú)立存在。Piazza等[4]的fMRI研究發(fā)現(xiàn)與注意相關(guān)的后頂葉和額葉在對(duì)4以上的數(shù)量命名時(shí)激活程度劇烈增加，而在對(duì)4以下的數(shù)量命名時(shí)則沒有激活的增加，提示兩種數(shù)量表征系統(tǒng)區(qū)別的實(shí)質(zhì)在于前注意的平行加工和注意的串行加工的區(qū)別。最近Luo, Nan等[24,25]的ERP研究提供了與此一致的證據(jù)。他們?cè)跀?shù)量表征任務(wù)中加入分心變量（目標(biāo)刺激是1~6個(gè)矩形圖形，分心刺激是不同數(shù)量的圓形，將目標(biāo)刺激和分心刺激隨機(jī)混合后一起呈現(xiàn)），被試的任務(wù)是判斷目標(biāo)刺激數(shù)量的奇偶性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)分心刺激對(duì)4~6范圍內(nèi)數(shù)量加工的正確率的影響明顯大于1~3范圍，表明對(duì)大數(shù)的表征比對(duì)小數(shù)的表征更依賴于空間注意，支持“感數(shù)”系統(tǒng)與“計(jì)數(shù)”系統(tǒng)的分離，而是否包含空間注意的加工可以看作區(qū)分“感數(shù)”與“計(jì)數(shù)”的標(biāo)志。
　　另一方面，針對(duì)兩種數(shù)量表征系統(tǒng)的神經(jīng)基礎(chǔ)的研究[26,27]較一致地發(fā)現(xiàn)大數(shù)近似表征系統(tǒng)的神經(jīng)基礎(chǔ)在頂內(nèi)溝的雙側(cè)橫向部分（bilateral horizontal segment of the IPS, HIPS）；而關(guān)于“感數(shù)”的神經(jīng)基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)證據(jù)卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于心理表征系統(tǒng)。一些腦成像研究不支持兩種數(shù)量表征系統(tǒng)有分離的神經(jīng)基礎(chǔ)。如Piazza等[4]的研究采用顏色命名任務(wù)作為控制任務(wù)來與數(shù)量命名的任務(wù)對(duì)比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沒有任何腦區(qū)在對(duì)“感數(shù)”范圍的數(shù)量命名時(shí)比對(duì)顏色命名時(shí)激活更強(qiáng)。作者認(rèn)為這可能反映了“感數(shù)”是一種基本的、高度自動(dòng)化的加工過程，它無論在加工一個(gè)或多個(gè)視覺刺激時(shí)都會(huì)被卷入，因而很難找到該系統(tǒng)獨(dú)有的神經(jīng)基礎(chǔ)。他們的另一個(gè)PET研究[28]發(fā)現(xiàn)對(duì)小數(shù)和大數(shù)的表征任務(wù)同樣引起了枕葉中部的外紋區(qū)和IPS的激活。類似地，Nan等的研究[25]也表明盡管感數(shù)與計(jì)數(shù)是本質(zhì)不同的加工過程，但卻具有共同的神經(jīng)基礎(chǔ)――下頂葉區(qū)（靠近precuneus）。
　　
　　2 嬰兒的數(shù)量表征
　　
　　目前對(duì)嬰兒數(shù)量表征能力的研究主要有四種范式：習(xí)慣化范式（habituation time paradigm；也稱注視偏向范式，preferential looking method）[5~7,12]、期望違背范式（expectancy-violation paradigm）[7,29]、二盒選擇范式（two-box choice paradigm）[30]以及動(dòng)手搜索范式（manual search paradigm）[31]。大量行為研究提示嬰兒有兩種不同的數(shù)量表征系統(tǒng)。Xu等[5]采用習(xí)慣化范式測(cè)驗(yàn)6個(gè)月嬰兒對(duì)數(shù)量8和16的辨別能力，實(shí)驗(yàn)嚴(yán)格控制非數(shù)量的連續(xù)變量，包括平衡兩種數(shù)量的點(diǎn)陣列的總表面積（surface area）、單個(gè)點(diǎn)的大小、點(diǎn)陣列的總周長（contour length）、密度等知覺特征。結(jié)果嬰兒對(duì)新奇數(shù)目的點(diǎn)陣列注視的時(shí)間更長，表明他們能夠辨別數(shù)量8和16。該系列實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步揭示嬰兒對(duì)數(shù)量的辨別能力受韋伯定律限制，6個(gè)月大的嬰兒能夠區(qū)分比率為1 : 2的點(diǎn)陣列（8和16個(gè)，16和32個(gè)點(diǎn)），但不能區(qū)分比率為2 : 3的點(diǎn)陣列（8和12個(gè)，16和24個(gè)點(diǎn)），表明該系統(tǒng)基于近似的而不是精確的數(shù)量表征。并且嬰兒的這種近似數(shù)量表征能力不受感覺通道和刺激形式的影響，比如Lipton和Spelke[32]使用由自然聲音組成的聲音序列（8個(gè)音和16個(gè)音）來代替視覺呈現(xiàn)的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)6個(gè)月和9個(gè)月的嬰兒表現(xiàn)出視覺實(shí)驗(yàn)中相同的規(guī)律。另外，嬰兒對(duì)數(shù)量的近似表征能力具有發(fā)展特征，6個(gè)月的嬰兒只能區(qū)分比率為1 : 2的數(shù)量，但10個(gè)月的嬰兒就能夠區(qū)分比率為2 : 3的數(shù)量了[33]，而成人則能夠區(qū)分比率精確到7 : 8的數(shù)量[10]。
　　另一方面，嬰兒表現(xiàn)出對(duì)小數(shù)的準(zhǔn)確表征能力。這種表征不受韋伯定律限制，而受物體數(shù)量大小的限制（上限為3）。如Wynn[29]采用期望違背范式發(fā)現(xiàn)5個(gè)月齡嬰兒對(duì)錯(cuò)誤的結(jié)果（1+1=1）比對(duì)正確的結(jié)果（1+1=2）注視的時(shí)間更長，表明他們能夠區(qū)分1個(gè)和2個(gè)玩具。該研究進(jìn)一步證明了嬰兒能夠進(jìn)行3個(gè)物體之內(nèi)的加減運(yùn)算。但當(dāng)物體的數(shù)目超過3時(shí)，嬰兒不能正確地表征其數(shù)量。Feigenson等[30]采用二盒選擇范式，讓10個(gè)月和12個(gè)月嬰兒在兩個(gè)裝有不同數(shù)量的餅干的桶之間自由選擇，結(jié)果當(dāng)兩個(gè)桶的餅干數(shù)為1和2、2和3時(shí)，嬰兒選擇餅干數(shù)量更多的桶；而當(dāng)兩個(gè)桶餅干數(shù)為3和4、2和4以及3和6時(shí)，嬰兒選擇兩個(gè)桶的幾率相等。類似地采用習(xí)慣化范式發(fā)現(xiàn)嬰兒能夠區(qū)分?jǐn)?shù)量2和3，但不能區(qū)分?jǐn)?shù)量4和6，盡管這兩組數(shù)量具有相同的比率。在動(dòng)手搜索范式的研究中[31]，嬰兒看見乒乓球被逐個(gè)放進(jìn)一個(gè)不透明的盒子里，然后讓嬰兒去搜索盒子取出乒乓球。當(dāng)乒乓球的數(shù)量為1至3時(shí)，14個(gè)月嬰兒的搜索行為與球的數(shù)量一致；而當(dāng)球的數(shù)量為4時(shí)，嬰兒在取出2個(gè)乒乓球后即停止了搜索，表明他們不能正確表征數(shù)量4。該實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步控制了可能與球的數(shù)量混淆的連續(xù)變量――球的大小，結(jié)果證明嬰兒的搜索行為不是基于連續(xù)變量，而是基于乒乓球的準(zhǔn)確數(shù)量。
　　然而嬰兒能夠準(zhǔn)確表征小數(shù)的能力隨即受到置疑，因?yàn)殡S后的一系列實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)控制了物體的連續(xù)變量（如單個(gè)物體的周長、面積、單個(gè)刺激的持續(xù)時(shí)間等知覺特征變量）時(shí)，嬰兒根據(jù)連續(xù)變量而不是數(shù)量進(jìn)行反應(yīng)。如Feigenson等[30]的二盒選擇任務(wù)實(shí)驗(yàn)改變了餅干的大小，使1塊餅干的表面積比2塊餅干的總表面積更大或者相等，結(jié)果在前一種條件下，嬰兒選擇1塊面積更大的餅干；在后一種條件下，嬰兒選擇1塊餅干和2塊餅干的幾率相等。這說明嬰兒選擇的依據(jù)是餅干的總量（總面積），而不是餅干的塊數(shù)。Clearfield等[6]采用視覺習(xí)慣化任務(wù)測(cè)驗(yàn)6個(gè)月和8個(gè)月嬰兒區(qū)分2個(gè)和3個(gè)黑色正方形的能力。測(cè)試刺激要么與習(xí)慣化的刺激數(shù)量相同但總周長不同，要么與習(xí)慣化的刺激數(shù)量不同但總周長相同。嬰兒只對(duì)總周長不同的測(cè)試刺激去習(xí)慣化，而對(duì)數(shù)目不同的測(cè)試刺激則沒有表現(xiàn)出去習(xí)慣化。作者推論嬰兒反應(yīng)的基礎(chǔ)是刺激的總周長或其他連續(xù)變量，而非刺激的數(shù)量。Feigenson等[7]采用習(xí)慣化范式和期望違背范式的一系列實(shí)驗(yàn)也證明嬰兒反應(yīng)的基礎(chǔ)是刺激的正面表面積（frontal surface area）而不是數(shù)量。
　　那么應(yīng)該怎樣解釋嬰兒不能辨別控制了連續(xù)變量的少量刺激（1~3個(gè)）的數(shù)量呢？一種可能的解釋是與成人的“感數(shù)”與“計(jì)數(shù)”過程相似，嬰兒對(duì)小數(shù)的表征是“感數(shù)”或“物體追蹤”（object tracking）系統(tǒng)[3]，它基于指向物體本身的注意（object-directed attention）[34]，因而對(duì)物體的連續(xù)變量敏感；而對(duì)大數(shù)的表征則是模擬幅度的表征[35]，只受數(shù)量間比率的限制。另一種類似的解釋是“物體文件表征”（object-file representation）是小數(shù)范圍內(nèi)數(shù)量表征的基礎(chǔ)[30]。所謂的“物體文件”就是物體的標(biāo)簽，用來指代單個(gè)物體，包含了其大小、形狀等各種知覺特征，同時(shí)隱含了其數(shù)量特征，人和動(dòng)物通過將實(shí)際物體與其頭腦中的物體文件一一對(duì)應(yīng)來辨別物體數(shù)量。因?yàn)樾��?shù)范圍內(nèi)物體的知覺特征比數(shù)量特征更顯著，所以嬰兒往往根據(jù)物體的連續(xù)變量而不是數(shù)量作反應(yīng)�！拔矬w文件表征”的實(shí)質(zhì)與“物體追蹤”系統(tǒng)相同，都強(qiáng)調(diào)了對(duì)單個(gè)物體本身的表征。
　　近來Feigenson的一個(gè)研究從另一個(gè)角度解釋了嬰兒對(duì)刺激的數(shù)量與連續(xù)變量的表征的關(guān)系[36]。該研究使用習(xí)慣化范式研究嬰兒對(duì)數(shù)量1和2的區(qū)分能力。當(dāng)一個(gè)集合中的兩個(gè)物體在顏色、質(zhì)地以及式樣（附上絨毛或觸角）方面明顯不同時(shí)，嬰兒根據(jù)物體的數(shù)量而不是連續(xù)變量（正面總表面積）反應(yīng)。而之前的研究證明當(dāng)同一集合中物體的特征完全相同時(shí)，嬰兒根據(jù)物體的連續(xù)變量而不是數(shù)量反應(yīng)。這說明嬰兒對(duì)小數(shù)量物體的表征存在一種雙分離（double dissociation）現(xiàn)象：當(dāng)物體具有相同特征時(shí)嬰兒表征其連續(xù)變量；當(dāng)物體具有明顯不同的特征時(shí)嬰兒表征其數(shù)量。這提示我們?cè)谟懻搵雰菏欠窬哂芯�確表征小數(shù)的能力之前應(yīng)該先考慮刺激的外部特征如何影響嬰兒的數(shù)量表征系統(tǒng)的運(yùn)行。
　　
　　3 動(dòng)物的數(shù)量表征
　　
　　動(dòng)物行為學(xué)的研究發(fā)現(xiàn)數(shù)量表征能力并非人類獨(dú)有。Platt和Johnson[13]關(guān)于動(dòng)物計(jì)時(shí)（animal timing）的經(jīng)典研究是訓(xùn)練老鼠和鴿子注意反應(yīng)鍵亮了并在固定時(shí)間（固定潛伏期）后按鍵，以獲得食物獎(jiǎng)勵(lì)。結(jié)果表明被試反應(yīng)潛伏期的變化性與固定潛伏期的長度成比例。固定潛伏期越短，反應(yīng)的正確率就越高，錯(cuò)誤的范圍越��；固定潛伏期越長，反應(yīng)正確率越低，錯(cuò)誤的范圍越大。反應(yīng)潛伏期的這種變化特征被稱為梯度性變化（scalar variability）。當(dāng)時(shí)間或潛伏期變量換成數(shù)量變量時(shí)（比如訓(xùn)練動(dòng)物在看見一定次數(shù)的閃光，或者按鍵一定的次數(shù)），動(dòng)物基于數(shù)量的行為同樣表現(xiàn)出梯度性變化（見圖1）。
　　圖1 老鼠按鍵的概率隨實(shí)際按鍵次數(shù)的變化
　　(N=獲得食物所需的按鍵次數(shù)) [13]
　　圖2 人與恒河候觸碰包含較少數(shù)量的點(diǎn)的集合的反應(yīng)時(shí)（左）和正確率（右）隨比較的數(shù)量間的距離的變化曲線[18]
　　Brannon等的研究證明經(jīng)過訓(xùn)練的恒河猴（rhesus macaque）具有近似表征數(shù)量的能力[14]。實(shí)驗(yàn)者訓(xùn)練猴子按數(shù)量遞增的順序觸碰觸控式顯示屏上由1~4個(gè)點(diǎn)組成的集合。然后成對(duì)呈現(xiàn)由5~9個(gè)點(diǎn)組成的新集合，這時(shí)恒河猴自發(fā)地按數(shù)量遞增的順序觸碰新集合對(duì)，并且其反應(yīng)時(shí)和正確率與集合對(duì)的數(shù)量比率成比例，同樣遵守韋伯定律。其反應(yīng)時(shí)和正確率隨集合對(duì)的數(shù)量間的距離的變化與人類非常接近（見圖2），證明了數(shù)量的距離效應(yīng)（numerical distance effect）在人與動(dòng)物之間的相似性。Hauser等[37]的研究證明另一種哺乳動(dòng)物――絹毛猴（cotton-top tamarin）對(duì)聲音序列刺激的數(shù)量表征同樣遵守韋伯定律，說明動(dòng)物的近似數(shù)量表征系統(tǒng)同樣不受感覺通道和刺激形式的影響。近來Flombaum等[38]的一個(gè)研究采用期望違背范式首次證明了恒河猴與人類一樣，能夠自發(fā)地運(yùn)用大數(shù)近似表征系統(tǒng)（≥4）進(jìn)行加法運(yùn)算，而不需要經(jīng)過大量的訓(xùn)練。其運(yùn)算基于對(duì)刺激的近似數(shù)量，而不是對(duì)刺激的連續(xù)變量（刺激排列的總長度），并且這種能力受兩個(gè)數(shù)量間比率的限制。
　　不僅如此，動(dòng)物似乎也具有精確表征小數(shù)的能力。Hauser等[9]將二盒選擇范式用于恒河猴，讓它們看見不同數(shù)量的蘋果片被依次放到兩個(gè)不透明的容器中，然后讓它們?cè)趦蓚�(gè)容器之間選擇。當(dāng)兩個(gè)容器里的蘋果片數(shù)為1和2、2和3、3和4以及3和5時(shí)，被試選擇蘋果片數(shù)更多的容器；而當(dāng)兩個(gè)容器里的蘋果片數(shù)為4和5、4和6、4和8以及3和8時(shí)，被試選擇兩個(gè)桶的幾率相等。證明恒河猴能夠準(zhǔn)確表征4及以下數(shù)量的物體能力。Hauser等的另一個(gè)研究[8]采用期望違背范式，發(fā)現(xiàn)恒河猴能夠自發(fā)地進(jìn)行小數(shù)（≤4）的加法運(yùn)算。研究者在一系列實(shí)驗(yàn)中控制了可能與數(shù)量表征混淆的變量，證明猴子對(duì)小數(shù)的加法運(yùn)算能力不是基于低水平的知覺表征、刺激的體積或表面積等連續(xù)變量以及對(duì)數(shù)量的模擬幅度的表征，而是基于“物體文件表征”。
　　同樣，更為精確的動(dòng)物神經(jīng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)也提供了支持兩方面的證據(jù)。Thompson等[39]在貓的頂-枕皮層中發(fā)現(xiàn)對(duì)小數(shù)量進(jìn)行選擇性反應(yīng)的細(xì)胞群，并且這些細(xì)胞群對(duì)小數(shù)的選擇性反應(yīng)跨感覺通道（視覺、聽覺、觸覺），支持了兩種數(shù)量表征系統(tǒng)的存在。而Nieder和Miller[40,41]記錄到恒河猴的雙側(cè)前額葉（PFC）和頂內(nèi)溝（intraparietal sulcus, IPS）細(xì)胞在視覺數(shù)量匹配任務(wù)中激活的研究似乎提供了相反的證據(jù)。以視覺形式給經(jīng)過訓(xùn)練的猴子相繼呈現(xiàn)兩個(gè)集合，每個(gè)集合包含1~5個(gè)物體，讓猴子判斷兩個(gè)集合在數(shù)量上是否匹配。實(shí)驗(yàn)嚴(yán)格控制了非數(shù)量的無關(guān)變量，如集合中項(xiàng)目的面積、形狀、排列方式、密度等。結(jié)果發(fā)現(xiàn)約有1/3的PFC細(xì)胞和約15%的IPS細(xì)胞選擇性地被某些數(shù)量激活。結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)量的調(diào)諧（tuning）是近似的，神經(jīng)元敏感的數(shù)量越大，調(diào)諧曲線（tuning curves）的幅寬（breadth）越大，受韋伯定律的比率限制。而且調(diào)諧曲線在數(shù)字3以下和4以上沒有不連續(xù)性，說明該神經(jīng)編碼是一種模擬幅度表征。該研究結(jié)果給我們兩點(diǎn)重要提示：第一，在該實(shí)驗(yàn)條件下（包括對(duì)猴子進(jìn)行大量訓(xùn)練），猴子對(duì)“感數(shù)”和“計(jì)數(shù)”范圍的數(shù)量都進(jìn)行模擬幅度表征，對(duì)“感數(shù)”范圍內(nèi)數(shù)量的表征并非精確的“物體文件”式的表征，不支持“物體文件表征”假設(shè)及小數(shù)精確表征系統(tǒng)的存在。第二，細(xì)胞群激活的潛伏期對(duì)數(shù)量1~5相等，與對(duì)空間注意串行加工的假設(shè)[3]不合，而與平行提取數(shù)量加工的假設(shè)[42]一致。有行為研究[18]也發(fā)現(xiàn)成人表征100個(gè)點(diǎn)的數(shù)量與表征20個(gè)點(diǎn)的數(shù)量用的時(shí)間一樣長。這似乎說明對(duì)數(shù)量的模擬幅度的表征并非串行的或反復(fù)的（iterative）加工，而是與“感數(shù)”一樣，是一種平行加工過程。
　　
　　4 數(shù)量表征與數(shù)概念的發(fā)展
　　
　　目前行為研究得出的一致結(jié)論是成人、尚未具備語言能力的嬰兒和一些動(dòng)物共同具有對(duì)大數(shù)的近似表征系統(tǒng)，該系統(tǒng)基于對(duì)數(shù)量的模擬幅度的表征，受韋伯定律的限制。而對(duì)于成人、嬰兒和動(dòng)物是否還分享第二種數(shù)量表征系統(tǒng)――對(duì)小數(shù)的精確表征或“感數(shù)”系統(tǒng)，則存在爭論。
　　不少研究者[15,16,30,31]指出對(duì)小數(shù)的表征基于對(duì)單個(gè)物體的平行的注意或追蹤（tracking），受數(shù)量大小的限制（嬰兒≤4；猴子≤5），與對(duì)大數(shù)的近似表征是不同的，兩種系統(tǒng)共同構(gòu)成了人類高級(jí)數(shù)學(xué)能力發(fā)展的基礎(chǔ)。比如，F(xiàn)eigenson等[30]指出“物體文件表征”與模擬幅度表征是形成人類特有的自然數(shù)概念的基礎(chǔ)。兒童最初只知道“一”是指一個(gè)物體，而其它的數(shù)量詞都表示包含更多的數(shù)量的物體集合。在這一階段，兒童可能將數(shù)量詞“一”對(duì)應(yīng)于單個(gè)的物體而將其它數(shù)量詞對(duì)應(yīng)于更大的模擬幅度。在其后的一兩年里，兒童懂得了數(shù)量詞“二”和“三”的含義，他們能夠同時(shí)對(duì)這兩個(gè)數(shù)量詞進(jìn)行兩種表征：對(duì)物體集合的表征（“二”指一個(gè)包含了比一個(gè)物體還多一個(gè)物體的集合）和對(duì)模擬幅度的表征（“二”指一個(gè)很小的數(shù)量集合）。一旦兒童掌握了這些概念，他們就會(huì)意識(shí)到從“二”到“三”的計(jì)數(shù)過程既對(duì)應(yīng)了在集合中增加一個(gè)單獨(dú)的物體，又對(duì)應(yīng)了集合的基數(shù)值的增加。因?yàn)椤傲信e單獨(dú)的物體”和“增加一個(gè)”是人類與生俱來的能力，在兒童逐漸掌握了更多的數(shù)量詞以后，他們便能夠利用兩種數(shù)量表征系統(tǒng)來理解4以上的自然數(shù)的含義。
　　另一些研究者[43,44]則反對(duì)“物體文件表征”假設(shè)。其一，既然兒童最初對(duì)數(shù)量詞的表征是基于“物體文件”的表征，指向物體本身，那么“二”就只能指代由某兩個(gè)物體組成的集合，而不能指代所有包含兩個(gè)物體的集合，無法解釋兒童能夠用數(shù)量詞“一”至“三”來指代不同的物體集合。針對(duì)物體知覺特征的短暫表征不能作為發(fā)展數(shù)概念的基礎(chǔ)。其二，該假設(shè)把掌握數(shù)量詞或口頭計(jì)數(shù)能力作為理解“四”及以上數(shù)概念的前提。根據(jù)該假設(shè)，當(dāng)兒童還沒有掌握“四”、“五”、“六”等數(shù)量詞時(shí)，他們只能把這些數(shù)量統(tǒng)統(tǒng)近似地表征為“比3更大”，而不能理解物體的數(shù)量與這些數(shù)量詞之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。然而實(shí)驗(yàn)[44]證明盡管沒有學(xué)習(xí)過數(shù)量詞“五”和“六”的學(xué)前兒童并不知道這兩個(gè)數(shù)量詞具體代表多少數(shù)量，但是當(dāng)集合的數(shù)量增加或減少一個(gè)時(shí)，他們判斷標(biāo)注的數(shù)量詞“五”或“六”應(yīng)該隨之改變；他們知道“六個(gè)”增加一些就不再是“六個(gè)”。這說明兒童在掌握具體的數(shù)量詞之前就理解了數(shù)量的含義，他們并非將4以上的數(shù)量簡單表征為“許多”，而是把它們表征為特定的數(shù)量。實(shí)際上，除了通過口頭計(jì)數(shù)來學(xué)習(xí)數(shù)概念以外，兒童還可以通過許多其它的方式表征數(shù)量，如使用身體部分，在符木上刻痕或在沙上做記號(hào)等。這些表征方式都能促進(jìn)兒童獲得數(shù)概念，口頭計(jì)數(shù)能力并非獲得數(shù)概念的必要前提。最近Slaughter等[45]采用減法任務(wù)，讓3歲兒童觀看實(shí)驗(yàn)者分別從兩個(gè)容器中拿走不同數(shù)量的餅干，然后讓兒童判斷哪個(gè)容器中剩的餅干多。當(dāng)從9塊餅干里減去的餅干數(shù)之間的比率大（3與6）時(shí)，或當(dāng)被減的餅干數(shù)也很大（從30塊中減去10與20塊）時(shí)，兒童的判斷高于隨機(jī)水平。這符合韋伯定律，證明了3歲兒童能夠使用模擬幅度系統(tǒng)來表征大數(shù)的近似數(shù)量，并且這種能力與兒童的口頭計(jì)數(shù)能力沒有關(guān)系。
　　而Rousselle等的另一個(gè)關(guān)于3歲兒童數(shù)量比較能力的研究[46]則與上述結(jié)論不一致。兒童的表現(xiàn)不受數(shù)量的大小的限制，而受數(shù)量間比率的限制，不支持“物體文件表征”假設(shè)。但是當(dāng)控制物體的表面積時(shí)，不論數(shù)量的大小和數(shù)量間的比率怎樣變化兒童均不能成功比較物體數(shù)量的大小，也不符合模擬幅度表征模型的預(yù)期。兒童在該研究中的表現(xiàn)是基于物體的知覺特征，而不是數(shù)量本身。尤其是當(dāng)控制物體表面積時(shí)，有一定的計(jì)數(shù)能力的兒童比沒有計(jì)數(shù)能力的兒童表現(xiàn)好，作者推論當(dāng)物體的知覺變量與數(shù)量特征發(fā)生混淆時(shí)，一定的計(jì)數(shù)能力對(duì)兒童成功比較數(shù)量間的大小是必要的。
　　
　　5 小結(jié)
　　
　　盡管從不同角度關(guān)于數(shù)量表征的研究結(jié)果存在許多分歧，但目前的研究證據(jù)比較支持存在兩種數(shù)量表征系統(tǒng)的觀點(diǎn)。對(duì)1~3范圍內(nèi)小數(shù)的表征受數(shù)量大小的限制，基于指向物體本身的注意，更依賴于物體的知覺特征，對(duì)物體及其數(shù)量進(jìn)行精確表征；而對(duì)4以上的數(shù)量的近似表征系統(tǒng)則受韋伯定律的限制，基于指向數(shù)量的模擬幅度的表征，而不依賴單個(gè)物體的知覺特征，是對(duì)數(shù)量的近似的、心理的表征。兩種數(shù)量表征系統(tǒng)為成人、尚未具備語言能力的嬰兒以及一些動(dòng)物所共有，證明這兩種系統(tǒng)具有漫長的進(jìn)化歷史，是人類生而具有的稟賦。它們是形成人類更高級(jí)的數(shù)學(xué)能力的基石。然而，fMRI、PET和ERP的腦成像研究結(jié)果迄今尚無定論。
　　然而，兩種數(shù)量表征系統(tǒng)的假設(shè)仍然面臨很多挑戰(zhàn)：①在進(jìn)行基本的算術(shù)運(yùn)算時(shí)，兩種數(shù)量表征系統(tǒng)如何整合？比如，在計(jì)算7-5=2時(shí)，兩個(gè)在近似表征系統(tǒng)范圍內(nèi)的數(shù)量（7，5）相減的結(jié)果卻屬于精確表征系統(tǒng)的范圍，這時(shí)該對(duì)結(jié)果進(jìn)行精確表征還是近似表征？兩種表征系統(tǒng)如何協(xié)同工作？②如果“物體文件表征”的假設(shè)有缺陷，小數(shù)精確表征系統(tǒng)的機(jī)制是什么？兩種數(shù)量表征系統(tǒng)如何相互作用以獲得自然數(shù)概念？③語言對(duì)兩種數(shù)量表征系統(tǒng)的影響有何不同？④小數(shù)精確表征系統(tǒng)究竟有無獨(dú)特的神經(jīng)基礎(chǔ)？⑤大數(shù)近似表征對(duì)數(shù)量的提取是系列加工還是平行加工？⑥成人、嬰兒和動(dòng)物的數(shù)量表征是否具有相同的神經(jīng)基礎(chǔ)？這些問題都有待進(jìn)一步的研究結(jié)果來回答。
　　
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　　(3Key Laboratory of Mental Health, Institute of Psychology, Chinese Academy of Sciences, 100101, China)
　　( 4MPI for Human Cognitive and Brain Sciences, Leipzig, Germany)
　　
　　Abstract: Numerical representation is the basis of mathematical abilities. A hot topic about numerical representation is whether there are two distinct numerical representation systems: the small precise number system and the large approximate number system. The article reviewed researches on numerical representations in different fields, and summarized evidences supporting the dissociation between the two systems. Numerical representation within the range of 1~3 had a set-size signature was proposed to base on attention to objects themselves per se. Therefore it was sensitive to perceptive properties of objects, and was precise representations about numerosities. While numerical representation for numbers above 4 had a Weber ratio signature. It was suggested to base on analog magnitudes, and was approximate representations of numerosities. However, evidences from the brain imaging field had not gained agreement on this issue. At last, the article brought forth the potential questions about the two basic numerical representation hypothesis.
　　Key words: numerosity, precise representation, subitizing, approximate representation, spatial attention.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文

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