幾何的感悟
發(fā)布時(shí)間:2017-02-15 來(lái)源: 人生感悟 點(diǎn)擊： 
幾何的感悟篇一：圖形與幾何心得體會(huì)
面積的初步了解
物體的表面或封閉圖形的大小，叫做它們的面積。 “面積”這一知識(shí)屬于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中空間與圖形領(lǐng)域的內(nèi)容。新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)：在教學(xué)中，應(yīng)注重使學(xué)生通過(guò)觀察、操作、推理等手段，逐步認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及變換；應(yīng)注重通過(guò)觀察物體、認(rèn)識(shí)方向、制作模型、設(shè)計(jì)圖案等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。
“面積”的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何形體的基礎(chǔ)，因此要讓學(xué)生在具體生動(dòng)的情境中感悟和理解這一概念學(xué)習(xí)的重要性和必要性。因做到以下幾點(diǎn)：
一、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)緊密聯(lián)系生活
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的，有意義的，富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。”學(xué)習(xí)內(nèi)容來(lái)自學(xué)生生活實(shí)際，在學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)，可使學(xué)習(xí)更有效。因?yàn)�，學(xué)習(xí)內(nèi)容貼近學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，符合學(xué)生心理特征，容易形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)也充分體現(xiàn)了學(xué)習(xí)生活化的理念。面積的概念具有較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)有一定的難度，為了使學(xué)生較好地理解和掌握“面積”這個(gè)比較抽象的概念，我從生活入手，讓學(xué)生找生活中物體的面，感知物體的面有大有小，進(jìn)行物體面的大小比較，通過(guò)物體面的大小比較揭示物體表面的面積。這樣層層深入，環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生在不知不覺(jué)中理解了面積的含義，有種水到渠成的感覺(jué)。體現(xiàn)了現(xiàn)代教育思想
所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)向?qū)W生提供與生活實(shí)際密切聯(lián)系的、有價(jià)值的、富有趣味的教學(xué)內(nèi)容”這一基本理念。
二、 關(guān)注估計(jì)不規(guī)則圖形的面積
教材中提供用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積，這些方法容易被教師們忽視，恰恰是這些細(xì)節(jié)影響學(xué)生最深。因?yàn)�，現(xiàn)實(shí)生活中有很多物體并不像教材上那樣有規(guī)則。讓學(xué)生學(xué)會(huì)估計(jì)的方法更有價(jià)值，更能實(shí)現(xiàn)學(xué)以至用的目標(biāo)，同時(shí)也是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要途徑之一。 從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生把生活中對(duì)圖形的感受與空間存在的幾何圖形建立聯(lián)系，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)確實(shí)就在我們的身邊，更有效地發(fā)展學(xué)生的空間觀念。從而形成應(yīng)用意識(shí)
總之，要準(zhǔn)確理解教材的編排意圖，聯(lián)系學(xué)生的生活，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，合理重構(gòu)教材，通過(guò)多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，形成應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生在廣闊的數(shù)學(xué)世界中遨游。
幾何的感悟篇二：初中數(shù)學(xué)幾何與圖形學(xué)習(xí)的心得體會(huì)
初中數(shù)學(xué)幾何與圖形學(xué)習(xí)的心得體會(huì)
通過(guò)學(xué)習(xí)了莊老師“圖形與幾何”的教學(xué)分析與案例評(píng)析專(zhuān)題講座后，我深有體會(huì)，就以下幾個(gè)方面談?wù)劯邢耄?/p>
一、空間觀念的培養(yǎng)
作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容之一 ： 學(xué)生的空間觀念的培養(yǎng)，成為新課程的一大特色，《新課程標(biāo)準(zhǔn)》把“空間觀念”作為義務(wù)階段培養(yǎng)學(xué)生初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的一個(gè)重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。
傳統(tǒng)的幾何課程，內(nèi)容差不多都是和演繹證明，到了初中后，幾乎成了一門(mén)純粹的關(guān)于證明的學(xué)問(wèn)。表面上看是遵循了“數(shù)學(xué)是思維的體操”這一傳統(tǒng)要求，但實(shí)際上學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性在此過(guò)程中被無(wú)情地扼殺，數(shù)學(xué)應(yīng)有的人文功能、應(yīng)用功能得不到有效地發(fā)揮。尤其是錯(cuò)過(guò)了培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的最佳時(shí)期。事實(shí)上，空間觀念是創(chuàng)新精神所必需的基本要素，沒(méi)有空間觀念幾乎談不上任何發(fā)明創(chuàng)造。因?yàn)樵S許多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實(shí)物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設(shè)計(jì)者要先從自己的想象出發(fā)畫(huà)出設(shè)計(jì)圖，然后根據(jù)設(shè)計(jì)圖做出實(shí)物模型，再根據(jù)模型修改設(shè)計(jì)，直至最終完善成型。這是一個(gè)充滿(mǎn)豐富想象力和創(chuàng)造性的探求過(guò)程，這個(gè)過(guò)程也是人的思維不斷在二維和三維空間之間轉(zhuǎn)換、利用直觀進(jìn)行思考的過(guò)程，空間觀念在這個(gè)過(guò)程中起著至關(guān)生要的作用。所以，明確空間觀念的意義、認(rèn)識(shí)空間觀念的特點(diǎn)、學(xué)生的空間觀念，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力是十分重要的。這就是《標(biāo)準(zhǔn)》把“空間觀念”作為義務(wù)教育階段重要學(xué)習(xí)內(nèi)容的原因。
按照《標(biāo)準(zhǔn)》描述的空間觀念的主要表現(xiàn)，其具體要求是：能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫(huà)出圖形；能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能其中的基本元素及其關(guān)系；能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系；能運(yùn)用圖形形象地描述，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考．
在這一章的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生動(dòng)手較多，親身體驗(yàn)較多，因此在充分挖掘圖形的現(xiàn)實(shí)模型，充分讓學(xué)生動(dòng)手操作，自主探索，合作交流，以積累有關(guān)圖形的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念之外，還應(yīng)讓學(xué)生有充分的思考和想象的空間。為此在學(xué)習(xí)之初，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生先動(dòng)手，后思考；而以后，則應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生先想象，再動(dòng)手。例如，在開(kāi)展正方體表面展開(kāi)的教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生先觀察正方體，再想象它的展開(kāi)圖，并把腦子里所想的圖形畫(huà)出來(lái)，然后再來(lái)進(jìn)行動(dòng)手操作，這樣能充分驗(yàn)證學(xué)生對(duì)圖形的空間想象力。
二、推理能力的培養(yǎng)
標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。演繹推理就是我們熟知的三段論，而合情推理則是指借助歸納、類(lèi)比、統(tǒng)計(jì)等手段得出結(jié)論。在初中階段它是我們問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要手段。我們第二次教學(xué)幾何知識(shí)是在第四章“平面圖形及其位置關(guān)系”，這一章除了在探索圖形性質(zhì)、畫(huà)圖、拼擺圖形、
圖案設(shè)計(jì)的過(guò)程中，初步建立空間觀念，發(fā)展幾何直覺(jué)外，還要了解一些關(guān)于圖形的概念，如：直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段、角、角度、周角、平角、鈍角、直角、銳角和相關(guān)的一些性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的換算以及兩條直線(xiàn)平行和垂直關(guān)系等等。其實(shí)這些內(nèi)容小學(xué)里就已經(jīng)學(xué)過(guò)，這里只是要求學(xué)生在小學(xué)學(xué)過(guò)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上能進(jìn)一步系統(tǒng)地理解和掌握。
在第五章中，三角形是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何圖形，在生活中隨處可見(jiàn)，它不僅是其他圖形的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際中也有著廣泛的。因此探索和掌握它的基本性質(zhì)對(duì)學(xué)生以后更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，空間觀念和推理能力都是非常重要的。
本章中，課本為我們提供了很多現(xiàn)實(shí)的有趣的問(wèn)題情境，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出幾何模型和運(yùn)用所學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，豐富的例子力求使學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。多種形式的活動(dòng)如測(cè)量、拼圖、折紙和設(shè)計(jì)圖案等，給了學(xué)生充分實(shí)踐和探索的空間。為學(xué)生空間觀念的發(fā)展，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，個(gè)性的發(fā)揮提供很好的機(jī)會(huì)。但我們?cè)趹?yīng)用課本情境時(shí)，也要有一定的選擇和變動(dòng)。
三、應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)
義務(wù)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，關(guān)于應(yīng)用意識(shí)的刻畫(huà)，主要在以下三個(gè)方面。
1、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用。
2、面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)能主動(dòng)嘗試著用數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)用知識(shí)和尋求
解決問(wèn)題的策略。
3、面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值。
第七章是“生活中的軸對(duì)稱(chēng)”。這一章的學(xué)習(xí)是為了讓學(xué)生欣賞體驗(yàn)軸對(duì)稱(chēng)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用和豐富的文化價(jià)值。在豐富的現(xiàn)實(shí)情境中，經(jīng)歷觀察、折疊、剪紙、圖形欣賞與設(shè)計(jì)等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。同時(shí)結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中典型實(shí)例了解并欣賞物體的鏡面對(duì)稱(chēng)，增進(jìn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣。
在本章的教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)身邊有很多軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，對(duì)此學(xué)生也有同感，他們不但能發(fā)現(xiàn)，而且還能自己進(jìn)行設(shè)計(jì)，許多學(xué)生設(shè)計(jì)出了各種各樣的美麗圖案，然而在這一章中有一個(gè)較為重要的知識(shí)點(diǎn)：第三節(jié)“探索軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)”。當(dāng)師生通過(guò)觀察并生活中的軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，讓學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)進(jìn)行探索時(shí)，學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)，推理能力的發(fā)展，對(duì)圖形美的感受等都在這些實(shí)踐活動(dòng)中得到了逐漸的發(fā)展。
幾何的感悟篇三：談?wù)勎覍W(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何的體會(huì)
談?wù)勎覍W(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何的體會(huì)
彭翕成
華中師范大學(xué) 國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 武漢 430079
這幾年，我發(fā)表了一些關(guān)于動(dòng)態(tài)幾何的文章，出版了相關(guān)著作，也在網(wǎng)絡(luò)上共享了不少資源。因此常被人問(wèn)起：如何學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何。國(guó)內(nèi)有許多研究動(dòng)態(tài)幾何的高手，不論從技術(shù)，還是教學(xué)實(shí)踐中的使用，勝于我者不在少數(shù)。但我還是想來(lái)談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題，算是個(gè)人總結(jié)吧。
很多軟件，譬如Word，功能很多，但只要知道了各個(gè)菜單的功能，使用起來(lái)就非常簡(jiǎn)單了；那些不常用的功能甚至不需要記，用的時(shí)候搜索幫助文件就可以了。動(dòng)態(tài)幾何軟件則不同，譬如幾何畫(huà)板，菜單不多，且每個(gè)下拉菜單的長(zhǎng)度很短，二級(jí)菜單更是寥寥無(wú)幾。但這并不意味著幾何畫(huà)板就容易掌握，因?yàn)槿舾善椒补δ艿膹?fù)合可能會(huì)變得不平凡。
我學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何，分為幾何畫(huà)板和超級(jí)畫(huà)板兩個(gè)階段。
我從2003年開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何畫(huà)板。自學(xué)，沒(méi)有老師，沒(méi)有教材，只是在網(wǎng)上下載了軟件和幾個(gè)課件。我花了一個(gè)星期的時(shí)間熟悉軟件，知道了哪個(gè)菜單下有哪些工具，這些工具能夠完成哪些功能，而要使用這些工具，需要先作什么。譬如希望作一個(gè)點(diǎn)在多邊形周界上運(yùn)動(dòng)，需要先選擇各頂點(diǎn)，構(gòu)造出多邊形內(nèi)部，才能作出多邊形周界上的點(diǎn)。
初學(xué)者最容易上手，也最容易被震撼的要數(shù)動(dòng)態(tài)測(cè)量功能了。作一個(gè)幾何圖形，加上一些測(cè)量和計(jì)算，再拖動(dòng)，就能從變化中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律。我當(dāng)時(shí)已經(jīng)打算從事數(shù)學(xué)教育方面的工作了，覺(jué)得應(yīng)該好好學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何，將之作為一技之長(zhǎng)。但那時(shí)，自學(xué)能力較差，不知道如何去網(wǎng)上搜索資源，尋求幫助，于是之后的一年多時(shí)間都沒(méi)有什么大的進(jìn)步。
記得有一次，我想作一個(gè)橢圓，想了好幾天，沒(méi)作出來(lái)，心里很是埋怨，難道幾何畫(huà)板只能作平面幾何圖形，不能運(yùn)用于解析幾何么？最后還是在網(wǎng)上找到了作法。
還有一次，我想作“過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的切線(xiàn)”，想了很久，被我想出來(lái)了，開(kāi)心不已。雖然說(shuō)穿了是如此簡(jiǎn)單：如圖1，連接OP，作中點(diǎn)M，以M為圓心，MO為半徑作圓交?O于N，則PN即為所求作的切線(xiàn)；不過(guò)就是用到“直徑所對(duì)的角是直角”這一簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)，但我后來(lái)的幾何畫(huà)板培訓(xùn)實(shí)踐表明，如果以前沒(méi)有這方面的學(xué)習(xí)，能夠?qū)⑵綍r(shí)用來(lái)解題的知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用到作圖中來(lái)的人并不多。
圖1
2004年，我買(mǎi)了幾本幾何畫(huà)板的書(shū)，在網(wǎng)上也下載了一些資料，特別是我加入了當(dāng)時(shí)積聚國(guó)內(nèi)眾多高手的幾何畫(huà)板論壇：求師德，通過(guò)學(xué)習(xí)高手的作品，我的水平有了較大的進(jìn)步�，F(xiàn)在回想起來(lái)，幾何畫(huà)板的學(xué)習(xí)竅門(mén)也就兩點(diǎn)而已：不斷追溯父子對(duì)象；創(chuàng)建新工具，查看腳本。
在求師德論壇的日子是令人難忘的，這不僅僅是我個(gè)人的感受，也是許多動(dòng)態(tài)幾何愛(ài)好者的心聲。求師德的網(wǎng)友，不論是對(duì)新手的教導(dǎo)，還是同水平的人切磋，都是坦誠(chéng)相見(jiàn)，毫不保留，所以大家的水平上升得都很快。國(guó)內(nèi)一些中學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)站，討論也頗為熱烈，但一遇到關(guān)鍵問(wèn)題，高手們大都打住不講了，因?yàn)樗麄冃枰源税l(fā)表文章。求師德的網(wǎng)友鉆研技術(shù)的很多，熱衷于寫(xiě)文章的好像很少。我曾經(jīng)建議求師德的高手們寫(xiě)點(diǎn)文章，因?yàn)殡s志上相當(dāng)多的動(dòng)態(tài)幾何文章所作研究并不深入，甚至可能會(huì)誤導(dǎo)人�？上业慕ㄗh并不被多少網(wǎng)友接
受。求師德論壇后來(lái)關(guān)閉了，具體原因我不太清楚，這是讓很多動(dòng)態(tài)幾何愛(ài)好者感到惋惜的。
2006年起，我開(kāi)始轉(zhuǎn)向超級(jí)畫(huà)板的研究。超級(jí)畫(huà)板由于吸收了幾何畫(huà)板一些優(yōu)點(diǎn)，增加了很多功能，使得入門(mén)時(shí)間大大縮短，使用起來(lái)也更加方便。
不可避免地，我會(huì)對(duì)這兩個(gè)軟件進(jìn)行比較。幾何畫(huà)板確實(shí)是一款非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，但很多的設(shè)計(jì)還是可以改進(jìn)的。就拿前面所說(shuō)的作圓的切線(xiàn)來(lái)說(shuō)，原始的尺規(guī)作圖方式有其存在的意義，但作為一個(gè)現(xiàn)代化的工具來(lái)說(shuō)，其作法能否更加直接，效率進(jìn)一步地提高呢？超級(jí)畫(huà)板的智能畫(huà)筆就做到了這一點(diǎn)。在保證動(dòng)態(tài)幾何性質(zhì)的前提下，充分考慮中學(xué)老師的使用習(xí)慣，順手一畫(huà)即可完成任務(wù)。而且超級(jí)畫(huà)板并不否定尺規(guī)作圖法，用戶(hù)可以選擇原始方法來(lái)鍛煉基本功，也可以采用先進(jìn)方法迅速作出基本圖形，進(jìn)一步探究以求獲得新的知識(shí)。
又如作多邊形上的點(diǎn)，從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，選擇多邊形各個(gè)頂點(diǎn)就應(yīng)該能夠作出了，何必一定要先構(gòu)造多邊形內(nèi)部呢？在這一問(wèn)題上，超級(jí)畫(huà)板比幾何畫(huà)板更符合數(shù)學(xué)本質(zhì)。
至于原來(lái)讓我頭痛的幾何畫(huà)板探究圓錐曲線(xiàn)，在使用超級(jí)畫(huà)板之后也變得輕松了，因?yàn)槌?jí)畫(huà)板在解析幾何方面提供了相當(dāng)強(qiáng)大的功能。近幾年，隨著動(dòng)態(tài)幾何研究隊(duì)伍的擴(kuò)大，網(wǎng)上這方面的資料越來(lái)越多了，隨便一搜，光是橢圓的作法，至少能搜出二十幾種。這些作法，了解一下是很有好處的，它與“茴字的四種寫(xiě)法”有著本質(zhì)的不同。每一種作法都反映了圓錐曲線(xiàn)的某些性質(zhì)。掌握這些作法，對(duì)研究解析幾何大有裨益。但也必須注意到，由于幾何畫(huà)板缺少最根本的解析幾何作圖功能：輸入二次曲線(xiàn)方程作圖，這讓相當(dāng)多的用戶(hù)苦惱。
高手們總是會(huì)想出各種方法來(lái)補(bǔ)救現(xiàn)有軟件的不足，他們的研究熱情，
學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何并不需要你有多高的計(jì)算機(jī)水平。培訓(xùn)實(shí)踐表明，在最開(kāi)始的入門(mén)階段，計(jì)算機(jī)老師比數(shù)學(xué)老師要快，而一旦過(guò)了這一階段，數(shù)學(xué)老師就遠(yuǎn)遠(yuǎn)地把計(jì)算機(jī)老師甩在后面。原因也很簡(jiǎn)單，雖然軟件的操作是基礎(chǔ)，不掌握基本操作，很多想法都無(wú)法實(shí)現(xiàn)，但最終決定動(dòng)態(tài)幾何水平高低的，還是看誰(shuí)有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，特別是平面幾何作圖方面。
在傳統(tǒng)幾何學(xué)習(xí)中，作圖與計(jì)算、證明三者的地位是并列的，而近些年，中學(xué)已經(jīng)大大刪減如何作圖了。為了學(xué)好動(dòng)態(tài)幾何，我曾經(jīng)下功夫研究過(guò)一些作圖。譬如已知三角形兩邊和第三邊的角平分線(xiàn)長(zhǎng)作三角形。我最早的作法是：如圖2，以C為圓心，分別以b、lc、a為半徑作圓；在半徑為b、a的圓上任取A、B兩點(diǎn)，在AB線(xiàn)段上作比例點(diǎn)D，使得DACA?；然后拖動(dòng)B，使得D剛好落在半徑為lc的圓上。這樣作圖，顯然不符合動(dòng)態(tài)幾DBCB
何作圖要求，因?yàn)橐煌蟿?dòng)就會(huì)散架，不能保持幾何性質(zhì)。但我覺(jué)得動(dòng)態(tài)幾何的這種近似作圖也有其存在的意義，直到現(xiàn)在，面對(duì)這種幾何約束作圖，不少雜志社、出版社束手無(wú)策，隨手所作圖形差錯(cuò)十分明顯。他們確實(shí)有學(xué)一下動(dòng)態(tài)幾何的必要了。
我后來(lái)想出了此題的尺規(guī)作法，但在此處，我卻想著重介紹另外一題：在△ABC的BC邊上，作點(diǎn)M使得△ABM和△ACM的內(nèi)切圓半徑相等。我最初也是采用近似作法。為了得到準(zhǔn)確作法，我問(wèn)了不少人，沒(méi)人會(huì)做。查了很多資料，最后在一本40年代的幾何書(shū)上找到了作法（后來(lái)發(fā)現(xiàn)梁紹鴻的《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）》也有），才作出圖來(lái)。
圖2 圖3
作法：如圖3，
（1）BC的中垂線(xiàn)DE交△ABC的外接圓于E；
（2）作△ABC的內(nèi)心F；以E為圓心，EB為半徑作圓；FE交圓E于G；
（3）過(guò)A作GB的平行線(xiàn)交BF于H；過(guò)A作GC的平行線(xiàn)交CF于I；
（4）作AB關(guān)于AH的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)交BC于M；
其中M即為題目所求。H、I分別為△ABM和△ACM的內(nèi)切圓圓心。
圖3作法巧妙，是很難想到的。也許有人會(huì)問(wèn)：這個(gè)問(wèn)題和動(dòng)態(tài)幾何有什么關(guān)系呢？根本就是個(gè)數(shù)學(xué)題嘛！的確如此。因?yàn)槲覀冄芯縿?dòng)態(tài)幾何的根本目的就在于研究數(shù)學(xué)，而不是研究軟件本身。隨著軟件的發(fā)展，這種幾何約束作圖也會(huì)變得容易，譬如Geometry Expressions就在這方面已經(jīng)作出了相當(dāng)不錯(cuò)的嘗試。
接下來(lái)，我想嘗試回答一個(gè)問(wèn)題。
一直以來(lái)，有人對(duì)動(dòng)態(tài)幾何的作用提出質(zhì)疑，其典型觀點(diǎn)是：利用動(dòng)態(tài)幾何軟件，不管是超級(jí)畫(huà)板還是幾何畫(huà)板，很多題目確實(shí)一作圖、一測(cè)量就出來(lái)結(jié)果了。但學(xué)生考試的時(shí)候，是不能使用計(jì)算機(jī)的，而且通過(guò)動(dòng)態(tài)測(cè)量發(fā)現(xiàn)的也只是結(jié)果，沒(méi)有解題過(guò)程。
眾所周知，但凡能夠讓人產(chǎn)生依賴(lài)的東西必然有其獨(dú)特之處，譬如一本好的復(fù)習(xí)資料，一個(gè)好的家教，雖然有學(xué)生過(guò)分依賴(lài)好的復(fù)習(xí)資料和好的家教，上課聽(tīng)課不認(rèn)真了，但并不能因此就否定復(fù)習(xí)資料和家教的作用。
一件事物在一定條件下能夠發(fā)揮作用幫助到你，就說(shuō)明它是有用的，這就夠了，我們不能求全責(zé)備，一定要它包打天下才行。就好比有人反對(duì)負(fù)數(shù)，理由是：你見(jiàn)過(guò)-1個(gè)人么？確實(shí)，我們沒(méi)有見(jiàn)過(guò)-1個(gè)人，但卻存在-1℃。這就說(shuō)明負(fù)數(shù)有存在的意義。
下面這個(gè)案例應(yīng)該能夠在一定程度上說(shuō)明問(wèn)題。
有學(xué)生問(wèn)我這樣一個(gè)題目：如圖4，在正方形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線(xiàn)AC的平行線(xiàn)，在平行線(xiàn)上作點(diǎn)E，使得CA?CE，CE交AD于F，求證：AE?AF。
圖4圖5
我給出的證明：如圖5，作EI?AC，設(shè)BD交AC于O，顯然四邊形EDOI是矩形，CE?CA?BD?2OD?2IE，所以?ACE?30?，易得?AEF??AEF?75?，所以AE?AF。
但此題并沒(méi)有到此結(jié)束，還可以探究。細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)圖5中作的垂足標(biāo)簽為I，按常理，緊接下來(lái)的標(biāo)簽應(yīng)該是G！這是因?yàn)槲铱吹筋}目時(shí)，就感覺(jué)圖4只是題目敘述的可能情況之一。一般的解題者對(duì)題目給出的圖形比較依賴(lài)；而長(zhǎng)期使用動(dòng)態(tài)幾何的人解題時(shí)，則會(huì)不自覺(jué)地去嘗試重新作圖，即使不動(dòng)手，也會(huì)在心里面把作圖步驟走一遍。
對(duì)于此題，在作好正方形ABCD后，尋找滿(mǎn)足條件的E時(shí)，通常是以C為圓心，CA為半徑作圓，很明顯圓與平行線(xiàn)的交點(diǎn)不止一點(diǎn)E，還有一點(diǎn)G，也滿(mǎn)足CA?CG。在前面證明的基礎(chǔ)上，我們?nèi)菀鬃C明AG?AH。如圖6，作GJ?AC，顯然CG?C?AB2?DO2?D2?I，所以EJG?30?，易得?CGA??CHA?15?，?GCJ
所以AG?AH。
我把進(jìn)一步的探究和學(xué)生講了之后，學(xué)生很佩服。因?yàn)樵谒磥?lái)，老師會(huì)解題，這是老師應(yīng)該會(huì)的，不算什么；但老師能夠拿到題還能有新發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明老師很有水平。
圖6
一個(gè)人在長(zhǎng)期使用動(dòng)態(tài)幾何軟件之后，是否能擺脫軟件，達(dá)到手上無(wú)畫(huà)板，心中有畫(huà)板的境界呢？理智告訴我，這幾乎不可能，至少我個(gè)人是做不到這一點(diǎn)。但我堅(jiān)信，長(zhǎng)期使用動(dòng)態(tài)幾何會(huì)使人加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解；而使用Flash或PPT，則很難幫助你提高數(shù)學(xué)水平。我堅(jiān)信，所以我堅(jiān)持。
補(bǔ)充：已知三角形兩邊和第三邊的角平分線(xiàn)長(zhǎng)作三角形。
尺規(guī)作法分析：如圖，假設(shè)△ABC為所求作，設(shè)CD是它的角平分線(xiàn)。引邊BC的平行線(xiàn)MD（點(diǎn)M在邊AC上）。因?yàn)?MCD??MCD??MDC，△CMD是等腰三角形。因?yàn)镸CDBCBaab?，b所以MC????，且AM?MC。根據(jù)CD?cl和腰AMACACba?b
abMD?MC?作出等腰△CMD。然后在射線(xiàn)CM上截取線(xiàn)段CA?b。又在射線(xiàn)CM關(guān)于a?b
直線(xiàn)CD對(duì)稱(chēng)的射線(xiàn)上截取線(xiàn)段CB?a。
如果感覺(jué)解答此問(wèn)題有困難，可先解決“已知三角形兩邊和第三邊的中線(xiàn)長(zhǎng)作三角形” 問(wèn)題。而要以a，b，mc作三角形，可先以
點(diǎn)的性質(zhì)就很簡(jiǎn)單了。 ab，，mc作三角形。接下來(lái)的作圖根據(jù)中22
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