數(shù)學模型與數(shù)學文化漫談（上）

　　開場白：今晚講的不是數(shù)學本身的內(nèi)容，而是一些關(guān)于數(shù)學的問題，可算作一種數(shù)學評論。“關(guān)于數(shù)學”的問題，劍橋分析學派的泰斗，數(shù)學家哈代（Hardy）嘗言：當一個數(shù)學家開始離開數(shù)學研究而開始談?wù)撽P(guān)于數(shù)學的問題的時，憂傷之情便油然而生了。哈代認為數(shù)學評論“可算是二等水平的學問”，就像文學評論，畫的評論之于文學，畫的藝術(shù)一般；
而數(shù)學作為一門藝術(shù)而存在，沒有任何功用，歷史上沒有任何火藥味的東西是由數(shù)論或壘素發(fā)明出來的。哈代這一段1940年左右說的話很快被1945年美國投放在日本的原子彈所否定，因為原子彈的制造與數(shù)論、相對論至關(guān)密切，而數(shù)學之功用更是勿庸多言。所以如何看待數(shù)學、研究數(shù)學、學習數(shù)學并不是那么可有可無的二等工作的問題。

　　有一件事情可以很好的表現(xiàn)一種對數(shù)學的態(tài)度，那便是“數(shù)學建模競賽”，這于1985年開始的數(shù)學建模國際比賽是很盛大的賽事，意義重大。

　　MCM (mathematics competition in codeling, 1987年后，將competition 改為contest)，數(shù)學建模競賽在美國舉行，現(xiàn)在已有9個國家四百多支隊伍參加，我校的參賽隊也取得了不錯的成績。數(shù)學建模競賽前，美國已存在著數(shù)學競賽，稱為普特南競賽，始于1938年，由MAA（Mathematics Association of America）主辦，實際發(fā)端于1931年，關(guān)于比賽事，有一段佳話：西點軍校與哈佛大學舉行學生足球比賽，上半場西點軍校領(lǐng)先，哈佛校長，路易斯老臉難掛，便在中場休息時找到西點校長說：“要是比賽數(shù)學，你們的學生可能就要輸了�！蔽鼽c校長當然不服，當即便允下次年舉行數(shù)學比賽。路易斯的親戚普特南給予了經(jīng)濟上的支持�？墒�1932年的比賽中，哈佛仍然未有勝出。

　　MCM的比賽方式一般是由非婁學部門提出問題，一般沒有既定答案，要求提出數(shù)學模型，并進行分析，作出解答。一般分為兩組題，A組多涉及連續(xù)數(shù)學，B組多涉及離散數(shù)學。以1999年的試題為例：A組的大意是直徑1公里的星體撞擊南極點，建立模型分析以下問題：傷亡估計，影響波及地區(qū)、冰塊融化浸占地表面積等等。而B組問題的大意是要設(shè)計某室內(nèi)場合的最大合法人數(shù)，考慮到地震、火災(zāi)等意外，設(shè)計餐館、電梯、足球場等地的合適人數(shù)，并與實際進行比較并寫文章到報紙上發(fā)表，還要求考慮由像餐館的桌椅是否可以移動、酒巴擁擠得程序而帶來的差異。另外，從1999年始還有了C組問題，多是跨學科的問題：A問，在油罐的存地可能存在污染，今有十個地下井觀測點，多年的數(shù)據(jù)，要求對這些數(shù)據(jù)進行分析，分析當?shù)匚廴厩闆r。B問，設(shè)計一種測量模型辦法，使其測量結(jié)果準確，有效。2000年C組問題獨立出現(xiàn)，同時舉行，名為ＩCＭ，即跨學科模型競賽。參賽方式：一般由３人組隊，一個老師指導，時間為兩天半，指導老師在開始時可幫忙選題，然后離開，比賽過程中，除與活人討論外，可以用任何方式進行解答。答卷要求用英語，由以下幾部分組成：

　　①重述題目

　�、谝罁�(jù)的基本數(shù)學假設(shè)是什么，怎么得來的？

　�、奂僭O(shè)分析

　�、芮逦�的模型表述

　　⑤模型的測試

　�、弈Ｐ偷慕獯�

　　⑦優(yōu)缺點的討論

　　另外還需要不超過一頁的摘要，也很重要。

　　所有完整的參賽作品都將被重視分為四個級別：成功參賽者、值得表揚的、良好的、優(yōu)秀的。中國1988年開始參賽，當時北大、清華、理工大學參加、北大當年即獲一個“良好的”級別獎。

　　現(xiàn)在國內(nèi)也有此類比賽，基本模仿美國的做法，發(fā)展較快。

　　這種比賽時間長，需要精力足，有毅力，合作精神等。應(yīng)該對此給予足夠的重視。這不僅僅是一場數(shù)學賽，更是一場對自身的鍛煉與挑戰(zhàn)。這一模型比賽突破了在數(shù)學教學界上主異地位的形式主義思維數(shù)學。將數(shù)學與實際應(yīng)用密切結(jié)合，很好的推動著數(shù)學的發(fā)展，以及對數(shù)學的更新全面的看法。

　　數(shù)學模型與數(shù)學文化慢談（下）

　　數(shù)學學院，雷功炎教授，2000年10月18日晚7：00 理1#1114

　　 二戰(zhàn)后，由于計算機等相關(guān)高科技的發(fā)展與進步，數(shù)學的發(fā)展在全世界的范圍被越來越重視。而且數(shù)學被越來越看作技術(shù)，而不僅僅是一門學科而已。數(shù)學與關(guān)鍵部門（哪些關(guān)系到國計民生的重要部門，如國防、軍事、航天、航空、石油、半導體、生存庫存……）的關(guān)系日益密切，數(shù)學技術(shù)的發(fā)展直接影響著這些部門的發(fā)展與力量。建立數(shù)學模型并在數(shù)模的基礎(chǔ)的計算成了中心的環(huán)節(jié)——即由數(shù)學技術(shù)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的中心環(huán)節(jié)。數(shù)學模型正是一種將理論與應(yīng)用相結(jié)合的典范，這非常有利于我們更好的認識數(shù)學，了解數(shù)學，發(fā)展數(shù)學。

　　不僅在一些大的生產(chǎn)、要害部門，數(shù)學的地位日隆，就是我們的日常生活中也不是數(shù)學技術(shù)的進步給我們帶來的便利。比如IP電話的使用，其中的要害技術(shù)——數(shù)據(jù)的壓縮與解讀問題；
再如抽水馬桶的設(shè)計——如何讓其沖水音量小而又能沖得干凈卻是通過數(shù)學的計算與應(yīng)用而實現(xiàn)的。盡管數(shù)學可以說是無處不在，但“什么是數(shù)學”或“數(shù)學是什么”的問題卻一直沒有個能被普遍認同的答案。美國或前蘇聯(lián)的一些極有影響的數(shù)學家在討論或著書 說討論“什么是數(shù)學”的問題時，一般的做法也只是把數(shù)學學科的各部門構(gòu)成進行羅列，敘述一番，如算術(shù)、幾何、方程、數(shù)論、微積與理論等等。而唯物主義者恩格斯則認為：數(shù)學就是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學問，哈代（Hardy）則更傾向于認為數(shù)學只是一門藝術(shù)，與琴棋書畫一般，跟外界事物沒有多少聯(lián)系。Hopper則認為數(shù)學就是替我們解決問題的好方法。真是各種各樣，難衷一是。而關(guān)于這問題的討論早就有了，就在二十世紀的大討論中，圍繞“數(shù)學是否真理”的問題展開大討論，基本上形成了三個流派：

　　一是以羅素、懷特海為代表的邏輯主義學派，他們認為數(shù)學是邏輯的一部分，而邏輯是真理，數(shù)學自然就是真理。真理是具有包容性的。邏輯的真理除了反映客觀世界規(guī)律的哪部分外，還包括通過推理演出來的“理性其理”。數(shù)學同樣具有這樣的特性。這樣一種態(tài)度與觀點在邏輯學界和數(shù)學界都同樣具有很重要的影響力。

　　第二學派是以布勞維爾為代表的直覺主義學派。說學派認為數(shù)學的真理唯一來源便是人的直覺，看其是否可以接受，它既不取決于經(jīng)驗，也非來自理性，而是人的直覺。經(jīng)驗是有功用的，理性也是能起作用的，但那只起到使人的直覺覺醒的作用，閃念的迸發(fā)。帕斯卡也說：心有其理，非理之所能知。而推理是愚蠢的人因為沒有通過直覺獲得真理，只好通過推理去發(fā)現(xiàn)真理。他們的觀點很大程度上受康德主義的影響�？档轮髁x認為，外物永遠是外物，只是人的認識與心智在變化，這種直覺主義主為人不可能獲得真理，真理是不可能存在的。

　　第三個流派是以希爾伯特爾為代表的形式主義。這正是現(xiàn)代數(shù)學教學與研究的主流流派，影響極為深刻。這一學派認為數(shù)學的各體系各自獨立，相容而且完備，盡力的發(fā)展每一部分便是數(shù)學之任務(wù)；
不用管客觀世界的問題，數(shù)學就是數(shù)學，與外界無涉，另外還認為在一般數(shù)學之上還有一個總的之數(shù)學(Meta-mathematics )的存在。

　　這三大學派的觀點很具代表性，可以說占主流的地位，但一直以來也同樣受著眾多的挑戰(zhàn)與趨向，先看看邏輯主義學派，羅素本人在1937年《數(shù)學原理》再版時已經(jīng)認為邏輯并非全是真理，所以數(shù)學也并非全是真理。在其晚年，羅素走得更遠了，對數(shù)學非確定性的思考成了他思想的主題，盡管他的數(shù)理邏輯貢獻功不可沒。至于直覺主義，它否定“實無窮”，即所有的東西都是在一起的，實在的并且是完成的；
肯定潛無窮，即推理的、發(fā)展的、未完成的無窮，對于構(gòu)造性數(shù)學，每一步都是有限的，從n, n+1, n+2, ……直至推進的無窮。對“選擇公理”，羅素舉了例子說：若有無窮雙鞋子，那么命題“取出左腳”是可以成立的，但若是所有無窮雙襪子就存在問題。直覺主義對襪子的編號解答也不滿意，認為人不可以對潛在襪子進行編號。而形式主義，則一直交著各方面的理論壓力，甚至挑戰(zhàn)。哥德爾的兩個定理基本葬送了希爾伯特關(guān)于真理獨立完備等觀念。即公理學說的相容性問題是無法證明的。愛因斯坦曾稱譽哥德爾是“亞里士多德以來對邏輯做過最大貢獻的人”。對邏輯的否定還得通過邏輯的形式，但不可以從邏輯上進行正誤判斷，因為絕對真理本就不存在。科萊茵《數(shù)學學科確立性的消失》是對形式主義的系統(tǒng)批判。

　　除了數(shù)學確立性問題外，數(shù)學還有個應(yīng)用性問題。我們提倡數(shù)學的應(yīng)用性，但并不排斥純數(shù)學，追求精神高雅的同時引出有用的東西。起源于古希臘的數(shù)學四門包括算術(shù)、幾何、天文、音樂，可算是綜合的學科，而像歐幾里德，阿基米德等大家都是綜合性大家�，F(xiàn)在數(shù)學里更有系統(tǒng)論、信息論、控制論等等。過分形式主義是歷史形成的，但我們不能只重形式，更要關(guān)注內(nèi)容。在數(shù)學創(chuàng)造領(lǐng)域，既要有真理取向，也要有美學取向，實用取向等。鑒別與選擇有直覺的作用，但別忘記靈感是來源于積累。

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