王振東：關(guān)于流體力學(xué)方法論問題

　　實驗是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，理論如果沒有實驗的證明，是沒有意義的。當(dāng)實驗推翻了理論以后，才可能創(chuàng)建新的理論，理論不可能推翻實驗。

　　力學(xué)是以實驗為基礎(chǔ)的科學(xué)。流體力學(xué)中絕大多數(shù)重要的摡念和原理都源于實驗。對于流體力學(xué)問題，數(shù)值模擬與物理實驗的本質(zhì)區(qū)別并未消失；
數(shù)值模擬不能代替物理實驗，大規(guī)模數(shù)值模擬的結(jié)果仍需由巧妙設(shè)計的物理實驗來檢驗其正確性。

　　1、流體力學(xué)絕大多數(shù)重要的概念和原理都源于實驗

　　力學(xué)是以實驗為基礎(chǔ)的科學(xué)，流體力學(xué)更是建立在實驗的基礎(chǔ)之上。在流體力學(xué)中，絕大多數(shù)重要的概念和原理都源于實驗。例如，大氣壓強(qiáng)，流體的可壓縮性，黏性剪應(yīng)力，層流，湍流，雷諾數(shù)，卡門渦，二次流，附加質(zhì)量，激波，孤立波，湍剪切流的相干結(jié)構(gòu)（或稱擬序結(jié)構(gòu)，猝發(fā)），聲障現(xiàn)象等；
又如，完全氣體的狀態(tài)方程，連續(xù)性方程，能量守恒原理，達(dá)西定律，托里拆利原理，伯努利原理等。下面我們可以舉幾個例子，來看—下它們怎樣由實驗發(fā)現(xiàn)的歷史過程。

　　1、1 流體的可壓縮性與完全氣體的狀態(tài)方程

　　1657年K.肖特（Schoot,K. 1608～1666）在《液體與氣體動力學(xué)》—書中，介紹了O.von格里凱（Guericke,O.von 1602～1686）發(fā)明的抽氣泵及其應(yīng)用的情況，引起了R.波義耳（Boyle,R. 1627～1691）的興趣，從而進(jìn)行了—系列實驗，從中領(lǐng)悟到空氣有“彈性”，并用實驗證明了此事。

　　波義耳用—只羊的膀胱，充入部分空氣后，扎緊細(xì)頸，放入抽氣泵的容器中。隨著容器中空氣減少，膀胱逐漸膨脹起來。當(dāng)空氣重新進(jìn)入容器時，膀胱又復(fù)原。這說明膀胱中的空氣有“彈性”。1660年，波義耳將這—結(jié)果寫入了《關(guān)于空氣彈性的新物理—力學(xué)實驗》一書中。

　　1661年9月，波義耳又用U形管進(jìn)行了一系列實驗，1662年由這些實驗提出了后人以他名字命名的氣體定律：在恒定的溫度下，氣體的壓強(qiáng)與其體積的乘積為—常數(shù)。

　　波義耳在實驗過程中還發(fā)現(xiàn)，—定體積的封閉空氣加熱以后會使壓強(qiáng)增高，但未進(jìn)—步研究。直到1802年，J.L.G.呂薩克（Lussac,J.L.G. 1778～1850）繼H.B.德.索熱爾（Saussure,H.B.de 1740～1799），J.普里斯特利（Priestley,J. 1733～1804）和L.B.B.G.de.莫爾瓦（Moruau,L.B.B.G.de 1737～1816）等人的實驗研究之后，才成功地將波義耳定律擴(kuò)充為包括溫度的情況，即現(xiàn)在的完全氣體定律或狀態(tài)方程。

　　1、2 連續(xù)性方程

　　L.達(dá).芬奇（da Vinci L. 1452～1519）約在1500年左右，提出了定常流動的體積流量守恒原理。但當(dāng)時未能引起注意，直到100多年后的1628年，才為B.B.卡斯特里（Gastelli,B.B. 1577～1644）重又發(fā)現(xiàn)。所以，“在相等的時間內(nèi)，流過B截面的水流量應(yīng)等于流過A截面的水流量”，現(xiàn)稱為達(dá).芬奇—卡斯特里原理。

　　 J.R.達(dá)朗伯（d’Alembert,J.R. 1717～1783）用數(shù)學(xué)方法根椐達(dá).芬奇—卡斯特里原理，導(dǎo)出了定常不可壓縮流體微分形式的連續(xù)性方程。11年后，L.歐拉（Euler,L. 1707~1783）1752年又將此原理用于—根流管，并用質(zhì)量代替流量，即沿流管的質(zhì)量應(yīng)守恒。并在直角坐標(biāo)系中取微六面體，導(dǎo)出了非定�？蓧嚎s流體微分形式的連續(xù)性方程。

　　1、3 能量守恒原理

　　能量守恒原理是由不同國家、不同學(xué)科的60多位科學(xué)家經(jīng)過長期的努力和不懈的觀察、實驗與探索后才逐漸發(fā)現(xiàn)和完善的。它起源于力學(xué)。

　　16世紀(jì)，意大利力學(xué)家G.烏巴爾德（Ubald,G. 1545～1607）和物理、天文學(xué)家G.伽利略（Galileo,G. 1564～1642）分別將虛功原理應(yīng)用于杠桿、滑輪和斜面上的物體與通過滑輪相連的另—懸掛物體間的平衡問題。

　　1638年伽利略在研究自由落體、單擺和物體沿斜面運(yùn)動時發(fā)現(xiàn)物體的速度

　　能通過高度變化得到，且物體下降所獲速度正好能使其返回原高度。1673年荷蘭數(shù)學(xué)和物理學(xué)家C.惠更斯（Huygens,C. 1629～1695）將伽利略的單擺實驗推廣至復(fù)擺情況，發(fā)現(xiàn)復(fù)擺重心的上升高度不能高于其下降的高度。1686年德國數(shù)學(xué)家G.W.F.萊布尼茲（Leibniz,G.W.F. 1646～1716）在進(jìn)行落體實驗后，提出用運(yùn)動能mv²來度量物體的運(yùn)動。于是伽利略與惠更斯的實驗結(jié)果就意味著運(yùn)動能守恒。1690年惠更斯用兩個相同的彈性體進(jìn)行碰撞實驗，發(fā)現(xiàn)碰撞前后的mv²不變，他還指出這個原理適用于包括液體運(yùn)動等其他許多情況。1738年瑞士物理和數(shù)學(xué)家D.伯努利（Bernoulli,D. 1700～1782）將此原理應(yīng)用于容器出流，得到了著名的伯努利定理。

　　1735年D.伯努利的父親J.伯努利（Bernoulli,J. 1667～1748）進(jìn)一步指出如果運(yùn)動能有變化，可能轉(zhuǎn)化為其他形式的能。到1750年前后，已得到：理想與孤立的機(jī)械系統(tǒng)，在重力作用下其機(jī)械能（動能與勢能之和）守恒。

　　1798年美國物理學(xué)家B.C.R.湯普森（Tompson,B.C.R. 1752～1814），以及1799年英國化學(xué)家S.H.戴維（Davy,S.H. 1778～1829）都在實驗中發(fā)現(xiàn)機(jī)械運(yùn)動可以產(chǎn)生熱能。1800年英國科學(xué)家W.尼科爾森（Nicholson,W. 1753～1815）和醫(yī)生卡萊爾通過電解水實驗，證明電可以引起化學(xué)反應(yīng)，即電能可轉(zhuǎn)變?yōu)榛瘜W(xué)能。1820年丹麥物理學(xué)家奧斯特（Oersted）用實驗證明電能可轉(zhuǎn)化為磁能。1821年德國物理學(xué)家T.J.西貝克（Seebeck,T.J. 1770～183？）制成溫差電偶，證明熱能可轉(zhuǎn)化為電能。1831年英國物理與化學(xué)家M.法拉弟（Faraday,M. 1791～1867）用實驗證明磁能可轉(zhuǎn)化為電能。這些實驗都表明：自然界的各種運(yùn)動形式，以及它們所表征的能量形式都是可以互相轉(zhuǎn)換的。

　　英國物理學(xué)家J.P.焦耳（Joule,J.P. 1818～1889）從1840年開始用各種不同方法，堅持進(jìn)行電能與熱能、電能與機(jī)械能、機(jī)械能與熱能之間的轉(zhuǎn)換實驗，并比較精確地測出電熱當(dāng)量值和熱功當(dāng)量值。1847年焦耳公布了他的實驗結(jié)果，兩個月后，由于英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家W.湯姆森（Tomson.W. 1824～1907）給予了充分肯定，引起了轟動。

　　德國物理與生理學(xué)家H.亥姆霍茲（Helmoltz,H.L.F.von 1821～1894）也在1847年獨立地發(fā)表了與焦耳工作內(nèi)容相近的論文，全面闡述了各種能量形式之間的等價關(guān)系，并用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出—般的能量守恒原理，而熱力學(xué)第—定律僅是能量守恒原理在熱力學(xué)中的具體體現(xiàn)。

　　就這樣，經(jīng)過了至少二百多年時間和先后約60多位科學(xué)家的共同努力，—般的能量守恒與轉(zhuǎn)換原理才建立起來。

　　從以上例子可見：在流體力學(xué)的發(fā)展過程中，實驗方法是最先使用的—種方法；
而且流體力學(xué)中絕大多數(shù)重要的原理和概念，也正是依據(jù)實驗研究才建立起來的。

　　2、關(guān)于歐拉方程組與納維—斯托克斯方程組

　　歐拉于1755年建立了理想流體的動力學(xué)方程組，現(xiàn)稱為歐拉方程組。法國力學(xué)家、工程師納維（Navier,C.L.M.H. 1785~1836）于1821年和英國力學(xué)家、數(shù)學(xué)家斯托克斯（Stokes,G.G. 1819~1903）于1845年分別對黏性不可壓縮流體建立了動力學(xué)方程組，現(xiàn)稱為納維—斯托克斯方程組�，F(xiàn)在人們對于自然界、國防和各種工程技術(shù)中的流體力學(xué)問題，都在用它們進(jìn)行分析、計算和研究。

　　對于納維—斯托克斯方程組，經(jīng)過150多年的研究，僅在—些簡化的特殊情況下，找到不多的準(zhǔn)確解。由于納維—斯托克斯方程組光滑解的存在性問題至今尚沒有在數(shù)學(xué)上解決，但這個問題又極其重要，所以克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會（Clay Mathematics Institute 簡稱 CMI ）已在2000年5月24日將其列為新千年數(shù)學(xué)大獎的7個懸賞問題之—，懸賞獎金高達(dá)一百萬美元（筆者已在《力學(xué)與實踐》2003年25卷3期上著文介紹這—懸賞問題的具體情況）。

對于理想流體的歐拉方程組，盡管要比納維—斯托克斯方程組簡單得多，但經(jīng)過200多年的研究，其解的存在性的問題也尚未在數(shù)學(xué)上得到證明，只是歐拉方程組解的存在性并不屬于CMI懸賞獎勵的問題。

　　在學(xué)習(xí)微分方程理論時，我們知道：

　　（1）如果描述物理問題的某微分方程被證明其解不僅存在而且唯一時，則無論用何種方法找到這個微分方程的解，可以認(rèn)為這就是該方程的解。

　　（2）當(dāng)描述物理問題的某微分方程，被證明解是存在的，但卻不見得唯一時，則如果用—種方法找到了解，還必須研究解的穩(wěn)定性問題，只有證明了所找到的解是穩(wěn)定的，才能認(rèn)為這個解有可能代表實際存在的物理現(xiàn)象。

　�。�3）如果描述物理問題的某微分方程，解的存在性尚還不能被證明，若用某種近似方法（如漸近方法或差分法、有限元法等數(shù)值方法）找到了“解”，則我們難以肯定它是否真是代表實際存在的物理現(xiàn)象的解。

　　不幸的是，我們在流體力學(xué)中所遇到的歐拉方程組和納維—斯托克斯方程組，正好都屬于第三種情況。

　　當(dāng)然，如果經(jīng)過數(shù)學(xué)家的努力，解決了CMI的百萬美元懸賞問題，納維—斯托克斯方程組解的存在性問題得到了證明，這自然是皆大歡喜的事�？墒荂MI關(guān)于納維—斯托克斯方程組解的存在性問題的懸賞，也還包括給出其解不存在的證明。如果是后者獲獎，那問題就更大了。也有可能，經(jīng)過仔細(xì)研究后認(rèn)為納維—斯托克斯方程組應(yīng)作某些修正和改進(jìn)，才能使解存在。如是這樣，流體力學(xué)教科書就需要改寫了。

　　有人曾說，我們不必等弄清楚消化理論后才去吃飯，而應(yīng)—面吃飯、—面研究消化理論。筆者很同意這種看法，實際上大家也是在這么做的。盡管歐拉方程組和納維—斯托克斯方程組解的存在性問題尚未解決，對于大量自然界、國防和各種工程實際中的流體力學(xué)問題，我們?nèi)栽趫猿钟美碚摲治�、�?shù)值計算、物理實驗相結(jié)合的方法有效地進(jìn)行研究，并得到很好的解決。

　　但是，由于計算機(jī)和計算技術(shù)的迅速發(fā)展，現(xiàn)在卻又流行—種說法：對于流體力學(xué)問題，數(shù)值計算（或稱數(shù)值模擬，還有人稱它為“數(shù)值實驗”）可以代替物理實驗。于是有人認(rèn)為只用計算機(jī)作大量的計算，就可以解決流體力學(xué)問題了。研究生做流體力學(xué)問題的學(xué)位論文時，可只用計算機(jī)作數(shù)值計算，不必再用物理實驗檢驗數(shù)值計算的正確性。甚至還有人進(jìn)—步說數(shù)值模擬就是“數(shù)值實驗”，它可以代替物理實驗。所以我們有必要對于流體力學(xué)問題，弄清數(shù)值模擬與物理實驗的關(guān)系，以免對流體力學(xué)方法論產(chǎn)生錯誤的看法，使研究工作在錯誤思路的指導(dǎo)下誤入歧途。

　　3、數(shù)值模擬與物理實驗的關(guān)系

　　3、1 數(shù)值模擬必須用物理實驗來檢驗其正確性

　　用電子計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計算是20世紀(jì)中葉才出現(xiàn)的—種方法，其主要步驟是：（1）對—般的流體運(yùn)動方程，初始或邊界條件，進(jìn)行必要的簡化或改寫；
（2）選用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法，對簡化或改寫的初值問題或邊值問題進(jìn)行離散化；
（3）編制程序，選取算例，進(jìn)行具體計算，并將所得結(jié)果繪制成圖表；
（4）將算例求得的數(shù)值解與實驗結(jié)果以及其他計算方法的結(jié)果進(jìn)行比較。

　　數(shù)值模擬對所研究的流體力學(xué)問題是—種近似方法。以納維—斯托克斯方程組為例，它是在對流體力學(xué)問題作了—些假設(shè)后才得到的。在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的前提下，斯托克斯1845年作了三條假設(shè)：

　　（1）應(yīng)力張量是應(yīng)變率張量的線性函數(shù)；

　　（2）流體是各向同性的，即流體的性質(zhì)與方向無關(guān)；

　�。�3）在流體靜止時，流體中的應(yīng)力即為流體靜壓強(qiáng)，才建立了方程組。其次，所釆用的數(shù)值計算方法本身也是近似的。所以，數(shù)值模擬的結(jié)果必須要用實驗結(jié)果來撿驗其正確否。

　　由于納維—斯托克斯方程組解的存在性問題至今尚未解決，就更難以肯定數(shù)值方法找到的解，是否代表真實的流體運(yùn)動。所以，認(rèn)為數(shù)值模擬是“數(shù)值實驗”的說法，實際上它只是數(shù)值計算方法的實驗，而不是流體運(yùn)動的實驗。

　　因此筆者認(rèn)為，數(shù)值摸擬與物理實驗的本質(zhì)差別并未消失，數(shù)值模擬不能代替物理實驗，數(shù)值摸擬的結(jié)果必須用物理實驗來撿驗其正確性。

　　3、2 大規(guī)模數(shù)值摸擬與巧妙設(shè)計的物理實驗相結(jié)合

　　研究解決流體力學(xué)問題的方法有實驗、分折和數(shù)值計算等三種，這三種方法各有優(yōu)缺點。實驗方法的優(yōu)點是能直接解決生產(chǎn)中的復(fù)雜問題，能發(fā)現(xiàn)流動中的新現(xiàn)象和新原理，其結(jié)果可作為撿驗其他方法是否正確的依據(jù)；
缺點是對不同情況需做不同的實驗，且所需人力、財力、物力較多，花費大。分析方法的優(yōu)點是可明確給出各物理量與流動參數(shù)之間的變化關(guān)系，普適性較好；
缺點是數(shù)學(xué)上的困難很大，能獲得的分析解（包括近似的分析解）的數(shù)量有限。數(shù)值計算方法的優(yōu)點是可對分析法無法求解的問題，求得其數(shù)值解，且花費相對較��；
缺點是對復(fù)雜而又缺乏完善數(shù)學(xué)模型的問題，仍無能為力。分析解及數(shù)值解都是建立在具有—定假設(shè)條件的運(yùn)動方程組之上的，其結(jié)果仍都應(yīng)受到實驗結(jié)果的撿驗。流體力學(xué)工作者應(yīng)熟練地掌握這些方法，以便根據(jù)具體情況，取長補(bǔ)短地加以應(yīng)用。

　　由于科學(xué)研究和生產(chǎn)實際的需要，對于流體力學(xué)問題進(jìn)行大規(guī)模數(shù)值模擬，無疑是需要的，國內(nèi)已有幾種計算流體動力學(xué)的商品軟件（如 FLUENT, STAR—CD, TASC flow，PHOENICS 等）在應(yīng)用，且已使用并行計算機(jī)進(jìn)行大規(guī)模數(shù)值模擬。但所得到的數(shù)值模擬結(jié)果，仍須用物理實驗來檢驗其正確性。而作物理實驗又需要投入更多的人力、財力、物力的支持，所以巧妙地構(gòu)思、設(shè)計小規(guī)模、精細(xì)的物理實驗，以較少花費來撿驗大規(guī)模數(shù)值模擬的正確性，就顯得十分重要。

　　參考文獻(xiàn)

　　1、周光坰、嚴(yán)宗毅、許世雄、章克本編著，流體力學(xué)（第二版），北京：高等教育出版社，2000

　　2、王振東、姜楠，新千年數(shù)學(xué)大獎問題 ——證明納維—斯托克斯方程組光滑解的存在性，力學(xué)與實踐，2003，25（3）：72—73

　　3、陳耀松，創(chuàng)新與構(gòu)思—力學(xué)小議之二，力學(xué)與實踐，20

　　關(guān)鍵詞：
流體力學(xué) 方法論 物理實驗 數(shù)值模擬

　　（原刊登于《力學(xué)與實踐》2004年26卷2期）

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