Q格式運(yùn)算講解學(xué)習(xí)

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　 第3章 DSP 芯片的定點(diǎn)運(yùn)算

　3.1 數(shù) 的 定 標(biāo) 在定點(diǎn) DSP芯片中，采用定點(diǎn)數(shù)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，其操作數(shù)一般采用整型數(shù)來(lái)表示。一 個(gè)整型數(shù)的最大表示范圍取決于 DSP芯片所給定的字長(zhǎng)，一般為 16位或 24位。顯然，字長(zhǎng)越長(zhǎng)，所能表示的數(shù)的范圍越大，精度也越高。如無(wú)特別說(shuō)明，本書均以 16位字長(zhǎng)為例。

　DSP芯片的數(shù)以 2的補(bǔ)碼形式表示。每個(gè) 16位數(shù)用一個(gè)符號(hào)位來(lái)表示數(shù)的正負(fù)， 0表示數(shù)值為正，

　1則表示數(shù)值為負(fù)。其余 15位表示數(shù)值的大小。因此 二進(jìn)制數(shù) 0010000000000011b ＝ 8195 二進(jìn)制數(shù) 1111111111111100b ＝ - 4 對(duì) DSP 芯片而言，參與數(shù)值運(yùn)算的數(shù)就是 16 位的整型數(shù)。但在許多情況下，數(shù)學(xué)運(yùn)算 過(guò)程中的數(shù)不一定都是整數(shù)。那么， DSP芯片是如何處理小數(shù)的呢？應(yīng)該說(shuō)， DSP芯片本身無(wú)能為力。那么是不是說(shuō) DSP芯片就不能處理各種小數(shù)呢？當(dāng)然不是。這其中的關(guān)鍵就 是由程序員來(lái)確定一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)處于 16位中的哪一位。這就是數(shù)的定標(biāo)。

　通過(guò)設(shè)定小數(shù)點(diǎn)在 16位數(shù)中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小數(shù)了。

　數(shù)的定標(biāo)有 Q表示法和

　S表示法兩種。表 3.1列出了一個(gè) 16 位數(shù)的 16種Q表示、 S表示及它們所能表示的十進(jìn)制數(shù)值范圍。

　從表 3.1可以看出，同樣一個(gè) 16位數(shù)，若小數(shù)點(diǎn)設(shè)定的位置不同，它所表示的數(shù)也就不 同。例如：

　16進(jìn)制數(shù) 2000H ＝ 8192，用 Q0表示 16進(jìn)制數(shù) 2000H ＝ 0.25，用 Q15表示 但對(duì)于 DSP芯片來(lái)說(shuō)，處理方法是完全相同的。

　從表 3.1還可以看出，不同的 Q所表示的數(shù)不僅范圍不同，而且精度也不相同。

　Q越大，數(shù)值范圍越小，但精度越高；相反， Q越小，數(shù)值范圍越大，但精度就越低。例如， Q0的數(shù)值范圍是 - 32768到+32767 ，其精度為 1，而 Q15 的數(shù)值范圍為 - 1 到0.9999695，精度為 1/32768 = 0.00003051 。因此，對(duì)定點(diǎn)數(shù)而言，數(shù)值范圍與精度是一對(duì)矛盾，一個(gè)變量 要想能夠表示比較大的數(shù)值范圍，必須以犧牲精度為代價(jià)；而想提高精度，則數(shù)的表示范圍就相應(yīng)地減小。在實(shí)際的定點(diǎn)算法中，為了達(dá)到最佳的性能，必須充分考慮到這一點(diǎn)。

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�。� 16384/32768=0.5 。

　16384 ，式中 16384 × 2- 15 浮點(diǎn)數(shù)與定點(diǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為：

　浮點(diǎn)數(shù) (x) 轉(zhuǎn)換為定點(diǎn)數(shù) ( x )：

　x (int) x q q 2Q 定點(diǎn)數(shù) ( x q

　)轉(zhuǎn)換為浮點(diǎn)數(shù) (x) ：

　x ( float )x q

　2 Q 例如，浮 點(diǎn)數(shù) x=0.5 ， 定 標(biāo) Q ＝ 15 ， 則定 點(diǎn)數(shù) Q＝ 15 表示的定點(diǎn)數(shù) x q

�。� 0.5 32768 表示下取整。反之，一個(gè)用 16384 ，其浮點(diǎn)數(shù)為

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　 表3.1 Q表示、 S表示及數(shù)值范圍 Q表示 S表示 十進(jìn)制數(shù)表示范圍 Q15 S0.15 - 1≤ X≤ 0.9999695 Q14 S1.14 - 2≤ X≤ 1.9999390 Q13 S2.13 - 4≤ X≤ 3.9998779 Q12 S3.12 - 8≤ X≤ 7.9997559 Q11 S4.11 - 16≤ X≤ 15.9995117 Q10 S5.10 - 32≤ X≤ 31.9990234 Q9 S6.9 - 64≤ X≤ 63.9980469 Q8 S7.8 - 128≤ X≤ 127.9960938 Q7 S8.7 - 256≤ X≤ 255.9921875 Q6 S9.6 - 512≤ X≤ 511.9804375 Q5 S10.5 - 1024≤ X ≤ 1023.96875 Q4 S11.4 - 2048≤X ≤ 2047.9375 Q3 S12.3 - 4096≤ X≤ 4095.875 Q2 S13.2 - 8192≤ X≤ 8191.75 Q1 S14.1 - 16384≤ X ≤16383.5 Q0 S15.0 - 32768≤ X ≤ 32767

　 3.2 高級(jí)語(yǔ)言：從浮點(diǎn)到定點(diǎn) 在編寫

　DSP模擬算法時(shí)，為了方便，一般都是采用高級(jí)語(yǔ)言

　(如 C語(yǔ)言 )來(lái)編寫模擬程序。程序中所用的變量一般既有整型數(shù)，又有浮點(diǎn)數(shù)。如例 3.1程序中的變量 i是整型數(shù)， 而pi是浮點(diǎn)數(shù)， hamwindow 則是浮點(diǎn)數(shù)組。

　例 3.1 256點(diǎn)漢明窗計(jì)算int

　i; float pi=3.14159; float hamwindow[256]; for(i=0;i<256;i++) hamwindow[i]=0.54 - 0.46*cos(2.0*pi*i/255); 如果要將上述程序用某種定點(diǎn) DSP芯片來(lái)實(shí)現(xiàn)，則需將上述程序改寫為 DSP芯片的匯編語(yǔ)言程序。為了 DSP 程序調(diào)試的方便及模擬定點(diǎn) DSP實(shí)現(xiàn)時(shí)的算法性能，在編寫 DSP匯編程序之前 一般需將高級(jí)語(yǔ)言浮點(diǎn)算法改寫為高級(jí)語(yǔ)言定點(diǎn)算法 。下面討論基本算術(shù)運(yùn)算

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　的定點(diǎn)實(shí)現(xiàn)方法。

　3.2.1 加法/減法運(yùn)算的 C語(yǔ)言定點(diǎn)模擬 設(shè)浮點(diǎn)加法運(yùn)算的表達(dá)式為：

　float x,y,z;

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　q q z=x+y; 將浮點(diǎn)加法 /減法轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)加法 /減法時(shí) 最重要的一點(diǎn)就是必須保證兩個(gè)操作數(shù)的定標(biāo)值一

　樣。

　若兩者不一樣，則在做加法

　/減法運(yùn)算前先進(jìn)行小數(shù)點(diǎn)的調(diào)整。為保證運(yùn)算精 度， 需使 Q 值小的數(shù)調(diào)整為與另一個(gè)數(shù)的 Q 值一樣大

　。此外，在做加法 /減法運(yùn)算時(shí)，必須 注意結(jié)果可能會(huì)超過(guò) 16位表示。

　如果加法

　/減法的結(jié)果超出 16位的表示范圍，則必須保留 32 位結(jié)果，以保證運(yùn)算的精度 。

　1. 結(jié)果不超過(guò) 16位表示范圍 設(shè) x的Q值為Qx， y的 Q值為 Qy，且Qx>Qy ，加法 / 減法結(jié)果 z的定標(biāo)值為 Qz，則 z＝ x+y z q

　2

　Q z

　x q

　2

　Q x

　Q y q

　2 = x q

　2 Q x

　y 2(Q x

　Q y ) 2 Q x

　= [ x q

　y q

　2(Q x

　Q y

　) ]

　2 Q x

　z q [ xq

　y 2(Q x

　Q y ) ]

　2( Qz

　Q x )

　所以定點(diǎn)加法可以描述為：

　int x,y,z; long temp; /* 臨時(shí)變量 */ temp＝ y<<(Qx － Qy); temp＝ x＋ temp; z＝ (int)(temp>>(Qx － Qz)), 若Qx≥ Qz z＝ (int)(temp<<(Qz － Qx)), 若QxQ ≤ z 例 3.2 定點(diǎn)加法 設(shè)x＝ 0.5， y＝3.1，則浮點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果為 z＝ x+y ＝ 0.5+3.1 ＝ 3.6; Qx＝ 15， Qy＝13， Qz＝ 13，則定點(diǎn)加法為：

　x＝ 16384； y＝25395; temp＝ 25395<<2 ＝ 101580; temp＝ x+temp ＝ 16384+101580 ＝ y

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　117964; z＝ (int)(117964L>>2) ＝ 29491; 因?yàn)?z的Q值為 13，所以定點(diǎn)值 z＝ 29491即為浮點(diǎn)值 z＝ 29491/8192 ＝3.6。

　例 3.3 定點(diǎn)減法 設(shè)x＝ 3.0， y＝3.1，則浮點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果為 z＝ x- y＝ 3.0- 3.1＝ - 0.1; Qx＝ 13， Qy＝13， Qz＝ 15，則定點(diǎn)減法為：

　x＝ 24576； y＝25295； temp＝ 25395; temp＝ x- temp＝ 24576- 25395＝ - 819; 因?yàn)?Qx<Qz ，故 z＝ (int)( - 819<<2) ＝ - 3276 。由于 z的 Q值為 15，所以定點(diǎn)值 z＝ - 3276即為浮點(diǎn)值 z＝ - 3276/32768 - 0.1。

　2. 結(jié)果超過(guò) 16位表示范圍

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　設(shè) x的Q值為Qx， y的 Q值為 Qy，且Qx>Qy ，加法結(jié)果 z的定標(biāo)值為 Qz,則定點(diǎn)加法為：

　int x ， y； long temp， z； temp＝ y<<(Qx - Qy) ； temp＝ x＋ temp; z＝ temp>>(Qx - Qz)，若Qx ≥ Qz z＝ temp<<(Qz - Qx) ，若Qx ≤ Qz 例 3.4 結(jié)果超過(guò) 16位的定點(diǎn)加法 設(shè)x＝ 15000， y＝ 20000，則浮點(diǎn)運(yùn)算值為 z＝ x＋ y＝ 35000，顯然 z>32767 ，因此Qx＝ 1， Qy＝ 0， Qz＝ 0，則定點(diǎn)加法為：

　x＝ 30000； y＝20000； temp＝ 20000<<1 ＝ 40000; temp＝ temp+x ＝40000+30000 ＝ 70000; z＝ 70000L>>1 ＝ 35000; 因?yàn)?z的Q值為 0，所以定點(diǎn)值 z=35000就是浮點(diǎn)值，這里 z是一個(gè)長(zhǎng)整型數(shù)。

　當(dāng)加法或加法的結(jié)果超過(guò) 16位表示范圍時(shí)，如果程序員事先能夠了解到這種情況，并 且需要保證運(yùn)算精度時(shí)，則必須保持 32位結(jié)果。如果程序中是按照 16位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的，則超過(guò) 16位實(shí)際上就是出現(xiàn)了溢出。如果不采取適當(dāng)?shù)拇胧�，則數(shù)據(jù)溢出會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算精度的 嚴(yán)重惡化。一般的定點(diǎn) DSP芯片都設(shè)有溢出保護(hù)功能，當(dāng)溢出保護(hù)功能有效時(shí)，一旦出現(xiàn) 溢出，則累加器 ACC 的結(jié)果為最大的飽和值 (上溢為 7FFFH ，下溢為 8001H) ，從而達(dá)到防止溢出引起精度嚴(yán)重惡化的目的。

　3.2.2 乘法運(yùn)算的 C語(yǔ)言定點(diǎn)模擬 設(shè)浮點(diǎn)乘法運(yùn)算的表達(dá)式為：

　float x,y,z; z = xy; 假設(shè)經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)后 x的定標(biāo)值為 Qx， y的定標(biāo)值為 Qy ，乘積 z的定標(biāo)值為 Qz，則 z = xy z q

　2 z = x q

　y q

　2 (Q x Q y ) Q z = ( x y )2 z ( Q x

　Q y

　) q q q

　所以定點(diǎn)表示的乘法為：

　int x,y,z; Q

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　long temp; temp = (long)x; z = (temp× y) >> (Qx+Qy - Qz); 例 3.5 定點(diǎn)乘法 設(shè)x = 18.4 ， y = 36.8 ，則浮點(diǎn)運(yùn)算值為 z =18.4× 36.8 = 677.12; 根據(jù)上節(jié)，得 Qx = 10 ， Qy = 9 ， Qz = 5 ，所以

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　Q Q x = 18841 ； y = 18841 ； temp = 18841L; z = (18841L*18841)>>(10+9 - 5) = 354983281L>>14 = 21666; 因?yàn)?z的定標(biāo)值為

　5，故定點(diǎn) z = 21666 即為浮點(diǎn)的 z = 21666/32 = 677.08 。

　3.2.3 除法運(yùn)算的 C語(yǔ)言定點(diǎn)模擬 設(shè)浮點(diǎn)除法運(yùn)算的表達(dá)式為：

　float x,y,z; z = x/y; 假設(shè)經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)后被除數(shù) x的定標(biāo)值為 Qx，除數(shù) y的定標(biāo)值為 Qy，商 z的定標(biāo)值為 Qz，則 z = x/y

　z q

　2 z = x q

　2 x Q y

　y q

　2

　x q

　2 z q

　(Q z

　Q x

　 y q

　Q y

　)

　所以定點(diǎn)表示的除法為：

　int x,y,z; long temp; temp = (long)x; z = (temp<<(Qz - Qx+Qy))/y; 例 3.6 定點(diǎn)除法 設(shè)x = 18.4 ， y = 36.8 ，浮點(diǎn)運(yùn)算值為 z = x/y = 18.4/36.8 = 0.5; 根據(jù)上節(jié)，得 Qx = 10 ， Qy = 9 ， Qz = 15 ；所以有x = 18841, y = 18841; temp = (long)18841; z = (18841L<<(15 - 10+9))/18841 = 308690944L/18841 = 16384; 因?yàn)樯?z的定標(biāo)值為

　15，所以定點(diǎn)

　z = 16384即為浮點(diǎn) z = 16384/2 15 = 0.5。

　3.2.4 程序變量的 Q值確定

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　在前面幾節(jié)介紹的例子中，由于 x、y、z的值都是已知的，因此從浮點(diǎn)變?yōu)槎�點(diǎn)時(shí) Q值很好確定。在實(shí)際的 DSP應(yīng)用中，程序中參與運(yùn)算的都是變量，那么如何確定浮點(diǎn)程序中 變量的 Q值呢？ 從前面的分析可以知道，確定變量的 Q值實(shí)際上就是確定變量的動(dòng)態(tài)范圍，動(dòng)態(tài)范圍確定了，則 Q值也就確定了。

　設(shè)變量的絕對(duì)值的最大值為 max ， 注意 max 必須小于或等于 32767。取一個(gè)整數(shù) n， 使它滿足 2n 1 則有 max 2n

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　，則 2 Q 2 15 2 n 2 (15 n) Q = 15 - n 例如，某變量的值在 - 1至＋ 1之間，即 max <1，因此 n = 0， Q＝ 15- n = 15。

　確定了變量的 max 就可以確定其 Q值，那么變量的 max 又是如何確定的呢？一般來(lái)說(shuō)，確定變量的 max 有兩種方法：一種是理論分析法，另一種是統(tǒng)計(jì)分析法。

　1. 理論分析法 有些變量的動(dòng)態(tài)范圍通過(guò)理論分析是可以確定的。例如：

　(1)

　三角函數(shù)，

　y = sin(x)或y = cos( x)，由三角函數(shù)知識(shí)可知， |y|≤ 1； (2)

　漢明窗，

　y( n)

　= 0.54- 0.46cos [2 n/(N - 1)] ， 0≤ n≤ N- 1。因?yàn)?- 1≤ cos [2 n/(N - 1)] ≤ 1，所以 0.08≤ y(n)≤ 1.0； N (3) FIR卷積。

　y(n)= k 1 h( k) x( n 0 k ) ，設(shè) N 1 h( k) k 0 1.0 ，且 x( n)是模擬信號(hào) 12位量化值， 即有 x(n) 11 y( n) ≤2 11 ；

　(4) 理論已經(jīng)證明，在自相關(guān)線性預(yù)測(cè)編碼 (LPC) 的程序設(shè)計(jì)中，反射系數(shù)不等式：

　k i 滿足下列 k i

　1.0 ， i= 1,2, ,p, p為L(zhǎng)PC 的階數(shù)。

　2. 統(tǒng)計(jì)分析法 對(duì)于理論上無(wú)法確定范圍的變量，一般采用統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)確定其動(dòng)態(tài)范圍。所謂統(tǒng)計(jì)分析，就是用足夠多的輸入信號(hào)樣值來(lái)確定程序中變量的動(dòng)態(tài)范圍，這里輸入信號(hào)一方面要有一定的數(shù)量，另一方面必須盡可能地涉及各種情況。例如，在語(yǔ)音信號(hào)分析中， 統(tǒng)計(jì)分析時(shí)就必須采集足夠多的語(yǔ)音信號(hào)樣值，并且在所采集的語(yǔ)音樣值中，應(yīng)盡可能地 包含各種情況，如音量的大小、聲音的種類

　 (男聲、女聲

　)

　等。只有這樣，統(tǒng)計(jì)出來(lái)的結(jié)果才能具有典型性。

　當(dāng)然，統(tǒng)計(jì)分析畢竟不可能涉及所有可能發(fā)生的情況，因此，對(duì)統(tǒng)計(jì)得出的結(jié)果在程 序設(shè)計(jì)時(shí)可采取一些保護(hù)措施，如適當(dāng)犧牲一些精度， Q值取比統(tǒng)計(jì)值稍大些，使用 DSP 芯片提供的溢出保護(hù)功能等。

　3.2.5 浮點(diǎn)至定點(diǎn)變換的 C程序舉例 本節(jié)通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明 C 程序從浮點(diǎn)變換至定點(diǎn)的方法。這是一個(gè)對(duì)語(yǔ)音信號(hào)(0.3kHz~3.4kHz) 進(jìn)行低通濾波的

　C語(yǔ)言程序，低通濾波的截止頻率為 800Hz ，濾波器采用 19 點(diǎn)的有限沖擊響應(yīng) FIR濾波。語(yǔ)音信號(hào)的采樣頻率為 8kHz ，每個(gè)語(yǔ)音樣值按 16位整型數(shù)存≤ 2

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　放在 insp.dat文件中。

　例 3.7 語(yǔ)音信號(hào) 800Hz 19 點(diǎn)FIR低通濾波 C語(yǔ)言浮點(diǎn)程序#include <stdio.h> const int length = 180 /* 語(yǔ)音幀長(zhǎng)為 180點(diǎn)＝ 22.5ms@8kHz 采樣 */ void filter(int xin[ ],int xout[ ],int n,float h[ ]); /* 濾波子程序說(shuō)明 */ /*19 點(diǎn)濾波器系數(shù) */ static float h[19]=

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　{0.01218354, - 0.009012882,- 0.02881839,- 0.04743239, - 0.04584568, - 0.008692503,0.06446265,0.1544655,0.2289794,0.257883, 0.2289794,0.1544655,0.06446265, - 0.008692503,- 0.04584568, - 0.04743239, - 0.02881839,- 0.009012882,0.01218354}; static int x1[length+20]; /* 低通濾波浮點(diǎn)子程序 */ void filter(int xin[ ],int xout[ ],int n,float h[ ]) { int i,j; float sum; for(i=0;i<length;i++) x1[n+i-1]=xin[i]; for (i=0;i<length;i++) { sum=0.0; for(j=0;j<n;j++) sum+=h[j]*x1[i - j+n - 1]; xout[i]=(int)sum; } for(i=0;i<(n - 1);i++) x1[n - i - 2]=xin[length - 1- i]; }

　 /* 主 程 序 */ void main( ) { FILE *fp1,*fp2; int frame,indata[length],outdata[length]; fp1=fopen(insp.dat,"rb"); /* 輸入語(yǔ)音文件 */

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　fp2=fopen(outsp.dat,"wb");

　frame=0; /* 濾波后語(yǔ)音文件 */ while(feof(fp1)==0)

　 {

　 frame++;

　 printf("frame=%d\n",frame);

　 for(i=0;i<length;i++) indata[i]=getw(fp1); /* 取一幀語(yǔ)音數(shù)據(jù) */ filter(indata,outdata,19,h); /* 調(diào)用低通濾波子程序 */ for(i=0;i<length;i++) putw(outdata[i],fp2); /* 將濾波后的樣值寫入文件 */ }

　 fcloseall( );

　/* 關(guān)閉文件 */ return(0);

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　} 例 3.8 語(yǔ)音信號(hào) 800Hz 19 點(diǎn)FIR低通濾波 C語(yǔ)言定點(diǎn)程序#include <stdio.h> const int length=180; void filter(int xin[ ],int xout[ ],int n,int h[ ]); static int h[19]={399, - 296,- 945,- 1555, - 1503,- 285,2112,5061,7503,8450, 7503,5061,2112, - 285,- 1503,- 1555, - 945,- 296,399}; /*Q15*/ static int x1[length+20]; /* 低通濾波定點(diǎn)子程序 */ void filter(int xin[ ],int xout[ ],int n,int h[ ]) { int i,j; long sum; for(i=0;i<length;i++) x1[n+i - 1]=xin[i]; for (i=0;i<length;i++) { sum=0; for(j=0;j<n;j++) sum+=(long)h[j]*x1[i - j+n - 1]; xout[i]=sum>>15; } for(i=0;i<(n - 1);i++) x1[n - i- 2]=xin[length - i- 1]; } 主程序與浮點(diǎn)的完全一樣。

　3.3 DSP定點(diǎn)算術(shù)運(yùn)算 定點(diǎn) DSP芯片的數(shù)值表示是基于 2的補(bǔ)碼表示形式。每個(gè) 16位數(shù)用 1個(gè)符號(hào)位、 i個(gè)整數(shù) 位和 15- i 個(gè)小數(shù)位來(lái)表示。因此數(shù) 00000010.10100000 表示的值為 2 1 2 1

　2 3

　=2.625 ， 這 個(gè)數(shù)可用

　Q8格式 (８?jìng)�(gè)小數(shù)位 )來(lái)表示，它表示的數(shù)值范圍為 - 128~+127.996 ，一個(gè) Q8 定點(diǎn)數(shù)的小數(shù)精度為 1/256=0.004 。

　· 52·

　雖然特殊情況 ( 如動(dòng)態(tài)范圍和精度要求 )必須使用混合表示法，但是，更通常的是全部以Q15格式表示的小數(shù)或以 Q0格式表示的整數(shù)來(lái)工作。這一點(diǎn)對(duì)于主要是乘法和累加的信號(hào)處理算法特別現(xiàn)實(shí)，小數(shù)乘以小數(shù)得小數(shù)，整數(shù)乘以整數(shù)得整數(shù)。當(dāng)然，乘積累加時(shí)可 能會(huì)出現(xiàn)溢出現(xiàn)象，在這種情況下，程序員應(yīng)當(dāng)了解數(shù)學(xué)里面的物理過(guò)程以注意可能的溢 出情況。下面討論乘法、加法和除法的 DSP定點(diǎn)運(yùn)算，匯編程序以 TMS320C25 為例。

　3.3.1 定點(diǎn)乘法 2個(gè)定點(diǎn)數(shù)相乘時(shí)可以分為下列 3種情況：

　1. 小數(shù)乘小數(shù)

　·53·

　Q15× Q15＝ Q30

　例 3.9 0.5*0.5 = 0.25 0.100000000000000 ； Q15 × 0.100000000000000 ； Q15 00.010000000000000000000000000000=0.25 ； Q30 2個(gè)Q15的小數(shù)相乘后得到 1個(gè)Q30的小數(shù)，即有 2個(gè)符號(hào)位。一般情況下相乘后得到的 滿精度數(shù)不必全部保留，而只需保留 16位單精度數(shù)。由于相乘后得到的高 16位不滿

　 15位的小數(shù)精度，為了達(dá)到 15位精度，可將乘積左移 1位，下面是上述乘法的 TMS320C25 程序 :

　LT OP1 ； OP1=4000H(0.5/Q15) MPY PAC OP2 ； OP2=4000H(0.5/Q15) SACH ANS,1 ； ANS=2000H(0.25/Q15) 2. 整數(shù)乘整數(shù) Q0× Q0 = Q0

　例 3.10 17× (- 5)= - 85

　0000000000010001=17 × 1111111111111011= - 5 11111111111111111111111110101011= - 85 3. 混合表示法 許多情況下，運(yùn)算過(guò)程中為了既滿足數(shù)值的動(dòng)態(tài)范圍又保證一定的精度，就必須采用

　Q0與 Q15之間的表示法。比如，數(shù)值 近的數(shù)是 1，精度無(wú)法保證。因此，數(shù) 1.2345，顯然 Q15無(wú)法表示，而若用 1.2345最佳的表示法是 Q14。

　Q0表示，則最接 例 3.11 1.5× 0.75 = 1.125

　×

　01.10000000000000 = 1.5 00.11000000000000 = 0.75 ； Q14 ； Q14 0001.0010000000000000000000000000 = 1.125;Q28 Q14的最大值不大于 2，因此，

　2個(gè)Q14數(shù)相乘得到的乘積不大于 4。

　一般的，若一個(gè)數(shù)的整數(shù)位為 i位，小數(shù)位為 j

　位，另一個(gè)數(shù)的整數(shù)位為 m 位，小數(shù)位為 n

　位，則這兩個(gè)數(shù)的乘積為

　( i + m )

　位整數(shù)位和

　(j + n) 位小數(shù)位。這個(gè)乘積的最高16位可能的精度為 ( i + m ) 整數(shù)位和

　(15 - i - m) 小數(shù)位。

　· 54·

　但是，若事先了解數(shù)的動(dòng)態(tài)范圍，就可以增加數(shù)的精度。例如，程序員了解到上述乘 積不會(huì)大于 1.8 ，就可以用 Q14 數(shù)表示乘積，而不是理論上的最佳情況 Q13 。例 3.11的TMS320C25 程序如下：

　LT OP1 ;OP1 = 6000H(1.5/Q14) MPY PAC OP2 ;OP2 = 3000H(0.75/Q14) SACH ANS,1 ;ANS ＝ 2400H(1.125/Q13) 上述方法為了保證精度均對(duì)乘的結(jié)果舍位，結(jié)果所產(chǎn)生的誤差相當(dāng)于減去 1個(gè) LSB( 最低位 )。采用下面簡(jiǎn)單的舍入方法，可使誤差減少二分之一。

　·55·

　LT OP1

　MPY OP2 PAC ADD

　ONE， 14

　(上舍入 ) SACH ANS ，1

　上述程序說(shuō)明，不管 ANS 為正或負(fù)，所產(chǎn)生的誤差是 1/2

　LSB ，其中存儲(chǔ)單元 ONE 的值為 1。

　3.3.2 定點(diǎn)加法 乘的過(guò)程中，程序員可不考慮溢出而只需調(diào)整運(yùn)算中的小數(shù)點(diǎn)。而加法則是一個(gè)更加 復(fù)雜的過(guò)程。首先，加法運(yùn)算必須用相同的 Q點(diǎn)表示；其次，程序員或者允許其結(jié)果有足

　夠的高位以適應(yīng)位的增長(zhǎng)，或者必須準(zhǔn)備解決溢出問(wèn)題。如果操作數(shù)僅為 16位長(zhǎng)，其結(jié)果可用雙精度數(shù)表示。下面舉例說(shuō)明 16位數(shù)相加的兩種途徑。

　1．保留 32位結(jié)果

　LAC OP1 ;(Q15) ADD OP2 ;(Q15) SACH ANSHI ;(高16位結(jié)果 ) SACL 2．調(diào)整小數(shù)點(diǎn)保留 ANSLO 16位結(jié)果 ;(低16位結(jié)果 ) LAC OP1,15 ;(Q14 數(shù)用 ACCH 表示 ) ADD OP2,15 ;(Q14 數(shù)用 ACCH 表示 ) SACH ANS ;(Q14) 加法運(yùn)算最可能出現(xiàn)的問(wèn)題是運(yùn)算結(jié)果溢出。

　TMS320 提供了檢查溢出的專用指令 BV ，此外，使用溢出保護(hù)功能可使累加結(jié)果溢出時(shí)累加器飽和為最大的整數(shù)或負(fù)數(shù)。當(dāng)然，即使如此，運(yùn)算精度還是大大降低。因此，最好的方法是完全理解基本的物理過(guò)程并注意選擇數(shù)的表達(dá)方式。

　3.3.3 定點(diǎn)除法 在通用 DSP芯片中，一般不提供單周期的除法指令，為此必須采用除法子程序來(lái)實(shí)現(xiàn)。二進(jìn)制除法是乘法的逆運(yùn)算。乘法包括一系列的移位和加法，而除法可分解為一系列的減法和移位。下面來(lái)說(shuō)明除法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

　設(shè)累加器為 8位，且除法運(yùn)算為 10除以 3。除的過(guò)程就是除數(shù)逐步移位并與被除數(shù)比較 的過(guò)程，在每一步進(jìn)行減法運(yùn)算，如果能減則將位插入商中。

　(1) 除數(shù)的最低有效位對(duì)齊被除數(shù)的最高有效位。

　· 56·

　00001010 － 00011000 11110010 (2) 由于減法結(jié)果為負(fù)，放棄減法結(jié)果，將被除數(shù)左移一位再減。

　·57·

　 00010100 － 00011000

　11111000 (3) 結(jié)果仍為負(fù)，放棄減法結(jié)果，被除數(shù)左移一位再減。

　00101000 － 00011000

　00010000 (4) 結(jié)果為正，將減法結(jié)果左移一位后加１，作最后一次減。

　00100001 － 00011000

　00001001

　(5)

　結(jié)果為正，將結(jié)果左移一位加 1得最后結(jié)果。高４位代表余數(shù)，低 4位表示商。00010011 即商為 0011=3 ，余數(shù)為 0001=1。

　TMS320 沒(méi)有專門的除法指令，但使用條件減指令 SUBC 可以完成有效靈活的除法功能。使用這一指令的唯一限制是兩個(gè)操作數(shù)必須為正。程序員必須事先了解其可能的運(yùn)算 數(shù)的特性，如其商是否可以用小數(shù)表示及商的精度是否可被計(jì)算出來(lái)。這里每一種考慮可

　影響如何使用 SUBC 指令的問(wèn)題。下面給出兩種不同情況下的 TMS320C25 除法程序。

　(1) 分子小于分母 DIV_A:

　LT NUMERA

　MPY DENOM PAC SACH

　TEMSGN

　;取商的符號(hào) LAC DENOM

　ABS

　 SACL DENOM ;使分母為正 ZALH ABS NUMERA ;使分子為正 RPTK 14

　SUBC DENOM ;除循環(huán) 15次 SACL QUOT

　LAC TEMSGN

　· 58·

　BGEZ ZAC A1 ;若符號(hào)為正 ,則完成 SUB QUOT

　SACL QUOT ;若為負(fù) ,則商為負(fù) A1: RET

　·59·

　這個(gè)程序中，分子在 NUMERA 中，分母在 DENOM 中，商存在 QUOT 中 ， TEMSGN 為暫存單元。

　(2) 規(guī)定商的精度 DIV_B:

　LT NUMERA

　MPY DENOM

　PAC

　 SACH TEMSGN ;取商的符號(hào) LAC DENOM

　ABS

　 SACL DENOM ;使分母為正 LACK 15

　ADD FRAC

　SACL FRAC ;計(jì)算循環(huán)計(jì)數(shù)器 LAC NUMERA

　ABS RPT

　FRAC ;使分子為正 SUBC DENOM ;除循環(huán) 16+FRAC 次 SACL QUOT

　LAC TEMSGN

　BGEZ B1 ;若符號(hào)為正 ,則完成 ZAC

　 SUB QUOT

　SACL QUOT ;若為負(fù) ,則商為負(fù) B1: RET 與 DIV_A 相同，這個(gè)程序中，分子在 NUMERA

　中，分母在 DENOM 中，商存在 QUOT 中， TEMSGN 為暫存單元。

　FRAC 中規(guī)定商的精度，如商的精度為 Q13

　，則調(diào)用程序前FRAC 單元中的值應(yīng)為 13。

　3.4 非線性運(yùn)算的定點(diǎn)快速實(shí)現(xiàn) 在數(shù)值運(yùn)算中，除基本的加減乘除運(yùn)算外，還有其他許多非線性運(yùn)算，如對(duì)數(shù)運(yùn)算、 開方運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)運(yùn)算等，實(shí)現(xiàn)這些非線性運(yùn)算的方法一般有：

　(1) 調(diào)用 DSP

　· 60·

　編譯系統(tǒng)的庫(kù)函數(shù)； (2) 查表法； (3) 混合法。下面分別介紹這三種方法。1．調(diào)用 DSP編譯系統(tǒng)的庫(kù)函數(shù) TMS320C2X/C5X 的C編譯器提供了比較豐富的運(yùn)行支持庫(kù)函數(shù)。在這些庫(kù)函數(shù)中， 包含了諸如對(duì)數(shù)、開方、三角函數(shù)、指數(shù)等常用的非線性函數(shù)。在 C程序中 (也可在匯編程序中 )只要采用與庫(kù)函數(shù)相同的變量定義，就可以直接調(diào)用。例如，在庫(kù)函數(shù)中，定義了以 10為底的常用對(duì)數(shù) log10( ) ：

　·61·

�。� include <math.h> double log10(double x); 在 C程序中按如下方式調(diào)用：

　float x,y; x = 10.0; y = log10(x); 從上例可以看出，庫(kù)函數(shù)中的常用對(duì)數(shù)

　 log10(

　)要求的輸入值為浮點(diǎn)數(shù)，返回值也為浮點(diǎn)數(shù)，運(yùn)算的精度完全可以保證。直接調(diào)用庫(kù)函數(shù)非常方便，但由于運(yùn)算量大，很難在實(shí) 時(shí)DSP中得到應(yīng)用。2．查表法 在實(shí)時(shí) DSP應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)非線性運(yùn)算，一般都采取適當(dāng)降低運(yùn)算精度來(lái)提高程序的運(yùn)算 速度。查表法是快速實(shí)現(xiàn)非線性運(yùn)算最常用的方法。采用這種方法必須根據(jù)自變量的范圍和精度要求制作一張表格。顯然輸入的范圍越大，精度要求越高，則所需的表格就越大， 即存儲(chǔ)量也越大。查表法求值所需的計(jì)算就是根據(jù)輸入值確定表的地址，根據(jù)地址就可得到相應(yīng)的值，因而運(yùn)算量較小。查表法比較適合于非線性函數(shù)是周期函數(shù)或已知非線性函數(shù)輸入值范圍這兩種情況，例 3.12和例 3.13分別說(shuō)明這兩種情況。

　例 3.12

　已知正弦函數(shù)

　y=cos(x) ，制作一個(gè)

　512點(diǎn)表格，并說(shuō)明查表方法。由于正弦函數(shù)是周期函數(shù)，函數(shù)值在－ 1至＋ 1之間，用查表法比較合適。

　由于 Q15的表示范圍為－

　1至32767/32768 之間，原則上講－

　1至＋ 1的范圍必須用

　Q14表示。但一般從方便和總體精度考慮，類似情況仍用 Q15表示，此時(shí)＋ 1用32767來(lái)表示。

　(1) 產(chǎn)生 512點(diǎn)值的 C語(yǔ)言程序如下所示 :

　#define N 512 #define pi 3.14159 int sin_tab[512]; void

　main( ) { int i; for(i=0;i<N;i++) sin_tab[i]=(int)(32767*sin(2*pi*i/N)); } (2) 查表 查表實(shí)際上就是根據(jù)輸入值確定表的地址。設(shè)輸入 x在0~2 之間，則 x對(duì)應(yīng)于 512點(diǎn)表

　· 62·

　的地址為：

　index = (int)(512*x/2 )，則 y = sin(x) = sin_tab[index] 。

　如果 x用 Q12 定點(diǎn)數(shù)表示，將 512/2 用 Q8表示為 20861，則計(jì)算正弦表的地址的公式 為：

　index = (x*20861L)>>20 。

　例 3.13 用查表法求以 2為底的對(duì)數(shù)，已知自變量取值范圍為 0.5~1,要求將自變量范圍均勻劃分為 10等分。試制作這個(gè)表格并說(shuō)明查表方法。

　(1) 做表：

　y

　=

　log2(x) ，由于 x在0.5到1之間，因此

　y在- 1到0之間， x和y均可用 Q15 表示。由于對(duì) x 均勻劃分為

　10段，因此，

　10段對(duì)應(yīng)于輸入 x的范圍如表

　3.2所示。若每一段的對(duì)數(shù)值都取第 1

　·63·

　點(diǎn)的對(duì)數(shù)值，則表中第 1段的對(duì)數(shù)值為 y0(Q15) = (int)(log2(0.5) × 32768)，第 2段的對(duì)數(shù)值為 y1(Q15) = (int)(log2(0.55)

　×32768) ，依次類推。

　表3.2 logtab0 10 點(diǎn)對(duì)數(shù)表 (輸入0.5~1) 地址

　輸入值 對(duì)數(shù)值 (Q15) 0

　0.50~0.55 - 32768 1

　0.55~0.60 - 28262 2

　0.60~0.65 - 24149 3

　0.65~0.70 - 20365 4

　0.70~0.75 - 16862 5

　0.75~0.80 - 13600 6

　0.80~0.85 - 10549 7

　0.85~0.90 - 7683 8

　0.90~0.95 - 4981 9

　0.95~1.00 - 2425

　(2) 查表 : 查表時(shí)，先根據(jù)輸入值計(jì)算表的地址，計(jì)算方法為：

　index=((x - 16384) × 20)>>15 。式中， index 就是查表用的地址。例如，已知輸入 x= 26869 ，則 index=6 ，因此 y=- 10549。

　3．混合法 (1) 提高查表法的精度 上述方法查表所得結(jié)果的精度隨表的大小而變化，表越大，則精度越高，但存儲(chǔ)量也越大。當(dāng)系統(tǒng)的存儲(chǔ)量有限而精度要求也較高時(shí)，查表法就不太適合。那么能否在適當(dāng)增加運(yùn)算量的情況下提高非線性運(yùn)算的精度呢？下面介紹一種查表結(jié)合少量運(yùn)算來(lái)計(jì)算非線性函數(shù)的混合法，這種方法適用于在輸入變量的范圍內(nèi)函數(shù)呈單調(diào)變化的情形。

　混合法是在查表的基礎(chǔ)上采用計(jì)算的方法以提高當(dāng)輸入值處于表格兩點(diǎn)之間時(shí)的精度。提高精度的一個(gè)簡(jiǎn)便方法是采用折線近似法，如圖 3.1所示。

　仍以求以

　2為底的對(duì)數(shù)為例 (例3.13) 。設(shè)輸入值為 x，則精確的對(duì)數(shù)值為 y，在表格值的兩點(diǎn)之間作一直線，用 y＇作為 y的近似值，則有：

　y＇＝ y 0 ＋ y

　 y

　 y " y 0

　 y

　 x y 0

　x 0

　x 0

　x

　圖3.1 提高精度的折線近似法

　· 64·

　其中 y 0 由查表求得�，F(xiàn)在只需在查表求得 y 0 的基礎(chǔ)上增加 y即可。

　y的計(jì)算方法如下：

　y=( x/ x 0 ) y= x( y 0 / x 0 ) 式中 y 0 / x 0 對(duì)每一段來(lái)說(shuō)是一個(gè)恒定值，可作一個(gè)表格直接查得。此外計(jì)算 x時(shí)需用到每段橫坐標(biāo)的起始值，這個(gè)值也可作一個(gè)表格。這樣共有 三個(gè)大小均為 10 的表格，分別為存儲(chǔ)每段起點(diǎn)對(duì) 數(shù) 值 的 表 logtab0 、 存 儲(chǔ) 每 段 y 0 / x 0

　值 的 表 logtab1 和存儲(chǔ)每段輸入起始值 x 0 的表 logtab2 ，表 logtab1 和表 logtab2可用下列兩個(gè)數(shù)組表示：

　·65·

　int logtab1[10]={22529,20567,18920,17517,16308, 15255,14330,13511,12780,12124}; /* y 0 / x 0 : Q13*/ int logtab2[10]={16384,18022,19660,21299,22938, 24576,26214,27853,29491,31130}; /* x 0 : Q15*/ 綜上所述，采用混合法計(jì)算對(duì)數(shù)值的方法可歸納為：

�、俑鶕�(jù)輸入值，計(jì)算查表地址：

　index=((x - 16384)× 20)>>15; ②查表得 y 0 =logtab0[index]; ③計(jì)算 x=x - logtab2[index]; ④計(jì)算 y＝ ( x× logtab1[index])>>13;

�、萦�(jì)算得結(jié)果 y=y 0 + y。

　例 3.14 已知 x=0.54 ，求 log2(x) 。

　0.54的精確對(duì)數(shù)值為y=log2(0.54)= - 0.889 �；旌戏ㄇ髮�(duì)數(shù)值的過(guò)程為：

�、俣�標(biāo) Q15，定標(biāo)值 x=0.54*32768=17694 ； ②表地址 index=((x - 16384)× 20)>>15=0; ③查表得 y 0 =logtab0[0]= - 32768; ④計(jì)算 x=x - logtab2[0]=17694 - 16384=1310; ⑤計(jì)算 y＝ ( xlogtab1[0])>>13=(1310*22529L)>>13=3602; ⑥計(jì)算結(jié)果

　y=y 0 + y=- 32768+3602= - 29166。

　結(jié)果 y為Q15定標(biāo)，折算成浮點(diǎn)數(shù)為 - 29166/32768= - 0.89，可見精度較高。

　(2) 擴(kuò)大自變量范圍 如上所述，查表法比較適用于周期函數(shù)或自變量的動(dòng)態(tài)范圍不是太大的情形。對(duì)于像對(duì)數(shù)這樣的非線性函數(shù)，輸入值和函數(shù)值的變化范圍都很大。如果輸入值的變化范圍很

　大，則作表就比較困難。那么能否比較好地解決這個(gè)問(wèn)題，既不使表格太大，又能得到比較高的精度呢？下面討論一種切實(shí)可行的方法。

　設(shè) x是一個(gè)大于 0.5的數(shù)，則 x可以表示為下列形式：

　x = m 2 e

　式中， 0.5≤ m≤ 1.0，e為整數(shù)。則求 x 的對(duì)數(shù)可以表示為：

　log2(x) = log2( m 2 e

　) = log2(m) + log2( 2 e

　) = e + log2(m)

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　也就是說(shuō)，求 x的對(duì)數(shù)實(shí)際上只要求 m的對(duì)數(shù)就可以了，而由于 m的數(shù)值在 0.5~1.0 之間， 用上面介紹的方法是完全可以實(shí)現(xiàn)的。例如：

　log2(10000) = log2(0.61035 × 214 ) = log2(0.61035) + 14 = 13.2877

　可見，如果一個(gè)數(shù)可以用比較簡(jiǎn)便的方法表示為上面的形式，則求任意大小數(shù)的對(duì)數(shù) 也是比較方便的。

　TMS320C2X/C5X 指令集提供了一條用于對(duì) ACC 中的數(shù)進(jìn)行規(guī)格化的指令 NORM ，該指令的作用就是使累加器中的數(shù)左移，直至數(shù)的最高位被移至累加器的第 30位。例如，對(duì)數(shù)值 10000進(jìn)行規(guī)格化的 TMS320C25 程序?yàn)椋?/p>

　LAC #10000 SACL TEMP ZALH TEMP

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　Q LAR AR1,#0FH RPT 14 NORM * － 上述程序執(zhí)行后， AR1=#0eH ， ACCH=2000(10 進(jìn)制 )。對(duì)一個(gè)

　16位整數(shù) x 進(jìn)行上述程序處理實(shí)際上就是做這樣一個(gè)等效變換：

　x = x 2 2 15 Q 32768 其中，寄存器 AR1 包含的值為 15- Q ，累加器 ACC 高 16 位包含的值為16384~32768之間。

　例 3.15 實(shí)現(xiàn)以 2為底的對(duì)數(shù)的 C定點(diǎn)模擬程序 int logtab0[10] ＝{ - 32768,- 28262,- 24149,- 20365,- 16862, - 13600,- 10549,- 7683,- 4981,- 2425}; /*Q15*/ int logtab1[10] ＝{22529,20567,18920,17517,16308, 15255,14330,13511,12780,12124}; /*Q13*/ int logtab2[10] ＝{16384,18022,19660,21299,22938, 24576,26214,27853,29491,31130}; /*Q15*/ int log2_fast(int Am) {

　x 2 Q

　 ，其數(shù)值在 int point,point1; int index,x0,dx,dy,y; point ＝0; while(Am<16384) {point++ ； Am ＝Am<<1;} /* 對(duì) Am 進(jìn)行規(guī)格化 */ point1 ＝ (15- point - 4)*512; /* 輸入為 Q4，輸出為 Q9*/ index ＝ ((Am - 16384)*20L)>>15; /* 求查表地址 */ dx ＝ Am- logtab2[index]; dy ＝ ((long)dx*logtab1[index])>>13; y＝ (dy+logtab0[index])>>6;

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　 /*Q9*/ y＝ point1+y; return (y); } 上述程序中，輸入值 Am 采用 Q4表示，輸出采用 Q9表示，如果輸入輸出的 Q值與上面程序中的不同，則應(yīng)做相應(yīng)的修改。

　3.5 小 結(jié) 本章討論了DSP 芯片進(jìn)行定點(diǎn)運(yùn)算所涉及的一些基本問(wèn)題，這些問(wèn)題包括：數(shù)的定標(biāo)， DSP程序的定點(diǎn)模擬， DSP芯片的定點(diǎn)運(yùn)算以及定點(diǎn)實(shí)現(xiàn)非線性函數(shù)的快速實(shí)現(xiàn)方法等。充分理解這些問(wèn)題對(duì)于用定點(diǎn)芯片實(shí)現(xiàn) DSP算法具有非常重要的作用。

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