公務(wù)員政法干警數(shù)量關(guān)系比賽問題專題匯總講解
發(fā)布時間:2020-10-16 來源: 演講稿 點(diǎn)擊： 
比賽問題專項(xiàng)
n 人參賽
需要的比賽場次 淘汰賽需要決出冠亞軍
n-1 （淘汰 n-1個隊(duì)伍就能決出冠亞軍）
淘汰賽需要決出前四名
n 單循環(huán)（任兩人間打一場比賽）
C（n 2）
雙循環(huán)（分主客場）
A（n 2）
比賽推理類 例 1：小趙，小錢，小孫一起打羽毛球，每局兩人比賽，另一人休息，三人約定每一局的輸方下一局休息，結(jié)束時算了一下，小趙休息了 2 局，小錢共打了 8 局，小孫共打了 5 局，則參加第 9 局比賽的是（
）？
【國家 2011】
A.小錢和小孫
B.小趙和小錢
C.小趙和小孫
D.以上皆有可能 楚香凝解析：小趙休息的 2 局是小錢和小孫在打，根據(jù)兩容斥公式，總局?jǐn)?shù)=8+5-2=11 局，小孫打了 5 局，因?yàn)椴荒苓B續(xù)休息兩局，所以小孫必然是休息一局打一局，奇數(shù)局休息、偶數(shù)局上場，所以第 9 局是小趙和小錢，選 B
例 2：4 支足球隊(duì)單循環(huán)賽，每兩隊(duì)都賽一場，每兩隊(duì)都賽一場，每場勝者得 3 分，負(fù)者得0 分，平局各得 1 分。比賽結(jié)束 4 支隊(duì)的得分恰好是 4 個連續(xù)自然數(shù)，第四名輸給第（
）名。
A.第一名
B.第二名
C.第三名
D.無法確定 楚香凝解析：每場最少得 2 分、最多得 3 分，共 C（4 2）=6 場，所以總分?jǐn)?shù)介于 12-18 之間；則四個連續(xù)自然數(shù)可以是 2+3+4+5=14 或 3+4+5+6=18，當(dāng)為 18 時相當(dāng)于沒有平局，則不可能出現(xiàn) 4 分、5 分的情況，排除；所以四支隊(duì)的得分分別是 2、3、4、5，第一名 5 分說明勝 1 場平 2 場、第二名 4 分說明勝 1 場平 1 場負(fù) 1 場、第四名 2 分說明平 2 場負(fù) 1 場，三支隊(duì)伍共勝 2 場平 5 場負(fù) 2 場（勝的總場數(shù)=負(fù)的總場數(shù)），則第三名只能為平 3 場、相當(dāng)于跟另外三支隊(duì)伍都是平局，則第四名的另一場平局只能跟第一名，那么第四名輸給了第二名，選 B
比賽分?jǐn)?shù)類 例1：8支足球隊(duì)參加單循環(huán)比賽，勝者得2分，平者得1分，負(fù)者得0分，比賽結(jié)束后，8支足球隊(duì)的得分各不相同，且第2名的得分與后4名的得分總和相等，第3名的得分是第5名的兩倍，第4名的得分是第6名的兩倍。問第一名比第四名多拿了多少分？
【山東2014】
A.3
B.4
C.5
D.6 楚香凝解析：8個隊(duì)單循環(huán)，總場次=C（8 2）=28場，每場無論勝負(fù)情況如何兩人總分都是2分，所以總比分=56分，第三名得分是第五名的兩倍，第四名的得分是第六名的兩倍，所以第三名和第四名的得分必為偶數(shù)，第二名的得分與后四名相同，所以兩者和也必為偶數(shù)，現(xiàn)在第二名+第5678名是偶數(shù)、第三名+四名是偶數(shù)，所以第一名也必為偶數(shù)，排除 AC，假設(shè)差了四分，設(shè)第一名 x、第二名 x-1、第三名 x-2、第四名 x-4、后四名 x-1，總和=5x-8=56，
x 不是整數(shù)排除，選 D
例 2：學(xué)校舉辦一次中國象棋比賽，有 10 名同學(xué)參加，比賽采用單循環(huán)賽制，每名同學(xué)都要與其他 9 名同學(xué)比賽一局。比賽規(guī)則，每局棋勝者得 2 分，負(fù)者得 0 分，平局兩人各得 1分，比賽結(jié)束后，10 名同學(xué)的得分各不相同，已知：（1）比賽第一名與第二名都是一局都沒有輸過；（2）前兩名的得分總和比第三名多 20 分；（3）第四名的得分與最后四名的得分和相等。那么，排名第五名的同學(xué)的得分是（
�。�
【國家 2007】
A.8 分
B.9 分
C.10 分
D.11 分 楚香凝解析：10 名同學(xué)單循環(huán)，每局無論勝負(fù)平，總分都是 2 分，所以總分?jǐn)?shù) C（10 2）*2=90，第一名和第二名沒輸過，所以第一名最多勝 8 平 1 得 17 分，第二名最多勝 7 平二得 16 分，第三名最多 13 分，第四名=最后四名最多 12 分，這八名最多17+16+13+12*2=70 分；第五名最多 11 分、則第五名只能為 11 分，如果第五名取 10 分的話、第六名最多 9 分，此時 70+10+9=89≠90 分，選 D
例 3：一次足球賽，有 A、B、C、D 四隊(duì)參加，每兩隊(duì)都賽一場。按規(guī)則，勝一場得 2 分，平一場得 1 分，負(fù)一場得 0 分。比賽結(jié)果，C 隊(duì)得 5 分，A 隊(duì)得 3 分，D 隊(duì)得 1 分，所有場次共進(jìn)了 9 個球，C 隊(duì)進(jìn)球最多，進(jìn)了 4 個球，A 隊(duì)共失了 3 個球，B 隊(duì)一個球也沒進(jìn)，D隊(duì)與 A 隊(duì)比分是 2∶3，則 D 隊(duì)與 C 隊(duì)的比分是（
�。�
A.0:0
B.0:1
C.0:3
D.3:2 楚香凝解析：A 隊(duì)共失了 3 個球，D 隊(duì)與 A 隊(duì)比分是 2∶3。說明 A 隊(duì)失球其中兩個是 D 隊(duì)射的。又因?yàn)?B 沒進(jìn)球，所以另外一個失球來自于 C 隊(duì)。D 隊(duì)與 A 隊(duì)比分是 2∶3，所有場次共進(jìn)了 9 個球，C 隊(duì)進(jìn)了 4 個球。說明 A 隊(duì)射 3 個，C 隊(duì)射 4 個，D 隊(duì)射 2 個。C：A = 1:0 A得到 2 分
B：D=0:0 D 得到 1 分 比賽結(jié)果 D 隊(duì)總分是 1 分，所以 D 在對抗其他隊(duì)伍的時候都是輸?shù)�。又因�(yàn)?C 隊(duì)得 5 分，表示 c 兩勝一平，它已經(jīng)勝了 A，并且有因?yàn)橼A了 D 所以只能和 B 打成平手。C：B=0:0 。所以 D 隊(duì)與 C 隊(duì)的比分是：0:3 ，選 C
例 4：五支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽.勝一場得 3 分，平一場得 1 分，負(fù)一場得 0 分。最后發(fā)現(xiàn)各隊(duì)得分都不相同，第三名得了 7 分，并且和第一名打平，獲得第一名的球隊(duì)得分是多少？ A.9
B.10
C.11
D.12 楚香凝解析：每個隊(duì)比 4 場，第一名平了一場，剩下 3 場全勝的話，為 10 分，排除 CD；如果是 A 的話，第一名平了一場，剩下 3 場得分總和不可能為 8 分，排除；選 B
例 5：小劉和小李進(jìn)行投標(biāo)比賽，投不中記零環(huán)，投中按離靶心距離得 1~10 環(huán)。兩人各投 5標(biāo)，所得環(huán)數(shù)之積都是 1764，但小劉的總環(huán)數(shù)比小李多 4 環(huán)，那么小李得了( )環(huán)。
【河北政法干警 2014】
A.24
B.26
C.28
D.30 楚香凝解析：1764=2 2 *3 2 *7 2 ，所以可以拆成五種①（2*2）*3*3*7*7，和為 4+20=24；②（2*3）*2*3*7*7，和為 6+5+14=25；③（3*3）*2*2*7*7，和為 9+4+14=27；④（2*2）*（3*3）*1*7*7，和為 28；⑤（2*3）*（2*3）*1*7*7，和為 27；要想滿足兩人差為 4，則小李總環(huán)數(shù)必為 24環(huán)，選 A 例 6：在一場籃球比賽中，甲、乙、丙、丁共得 125 分，如果甲再多得 4 分，乙再少得 4 分，丙的分?jǐn)?shù)除以 4，丁的分?jǐn)?shù)乘以 4，則四人得分相同。問甲在這場比賽中得了多少分？
【山西 2014】
A.24
B.20
C.16
D.12 楚香凝解析：假設(shè)四人變化后得分相同都為 x，則甲實(shí)際得分（x-4），乙實(shí)際得分（x+4），丙得分（4x），丁得分（x/4），四人實(shí)際得分和=25x/4=125，得 x=20，所以甲實(shí)際得分 20-4=16，選 C
比賽名次類 例 1：某單位舉辦圍棋聯(lián)賽，所有選手的排名都沒有出現(xiàn)并列名次。小周發(fā)現(xiàn)除自己以外，其他所有人排名數(shù)字之和正好是 70。問小周排名第幾？
【山東 2014】
A.7
B.8
C.9
D.10 楚香凝解析：所有選手的排名構(gòu)成首項(xiàng)為 1 的等差數(shù)列，1+2+…+N，N 取 12 時總數(shù)為 78，所以小周排第八，選 B
比賽局?jǐn)?shù)類 例 1：有 101 位乒乓球運(yùn)動員在進(jìn)行冠軍爭奪賽。通過比賽，將從中產(chǎn)生一名冠軍。這次比賽實(shí)行捉對淘汰制，在一輪比賽全部結(jié)束后，失敗者失去繼續(xù)比賽的資格，而勝利者再次抽簽，參加下一輪的比賽。問一共要進(jìn)行多少場比賽才能最終產(chǎn)生冠軍？ 【廣東 2004】
A.32
B.63
C.100
D.101 楚香凝解析：101 個人進(jìn)行淘汰賽決出冠軍需要 100 場，選 C
例 2：100 名男女運(yùn)動員參加乒乓球單打淘汰賽，要產(chǎn)生男、女冠軍各一名，則要安排單打賽多少場？
【國家 2006】
A.90
B.95
C.98
D.99 楚香凝解析：假設(shè)男女各 50 名，男女各需要 49 場、共 98 場，選 C
例 3：某次比賽共有 32 名選手，先被平均分為 8 組，以單循環(huán)的方式進(jìn)行比賽每組前兩名隊(duì)員再進(jìn)行淘汰賽，直到?jīng)Q出冠軍。請問共需要安排幾場比賽？
A.48
B.63
C.64
D.65 楚香凝解析：分成 8 組、每組 4 人單循環(huán)，共有 8* C（4
2）=48 場；每組前兩名共 16 名進(jìn)行淘汰賽，決出冠軍需要 15 場，共 48+15=63 場，選 B
例 4：某足球賽決賽，共有 24 個隊(duì)參加，它們先分成六個小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出 16 強(qiáng)，這 16 個隊(duì)按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠、亞軍和第三、四名�？偣残枰才哦嗌賵霰荣�？
【上海 2004】
A.48
B.51
C.52
D.54 楚香凝解析：分成六個小組，每組 4 人單循環(huán)需要 6*C（4
2）=36 場；16 強(qiáng)的隊(duì)伍決出冠亞軍需要 16 場，共 36+16=52 場，選 C
例 5：A、B、C、D 四支球隊(duì)開展籃球比賽，每兩個隊(duì)之間都要比賽 1 場，已知 A 隊(duì)已比賽了3 場，B 隊(duì)已比賽了 2 場，C 隊(duì)已比賽了 1 場，請問 D 隊(duì)已比賽了幾場？ 【江蘇 2007】
A.3
B.2
C.1
D.0
楚香凝解析：連線法，A 跟 B/C/D 各比賽一場，C 只跟 A 比賽一場；B 跟 A/D 各比賽一場；則 D 跟 A/B 各比賽一場，選 B
例 6：A、B、C、D、E 5 個小組開展撲克牌比賽，每兩個小組間都要比賽一場，到現(xiàn)在為止，A 組已經(jīng)比賽了 4 場，B 組已經(jīng)比賽了 3 場，C 組已經(jīng)比賽了 2 場，D 組已經(jīng)比賽了 1 場，問E 組比賽了幾場？
【江西 2008】
A.0
B.1
C.2
D.3 楚香凝解析：連線法，A 跟 B/C/D/E 各比賽一場，D 只跟 A 比賽一場；B 跟 A/C/E 各比賽一場，C 只跟 A 和 B 比賽各比賽一場；則 E 跟 A/B 各比賽一場，選 C
例7：八名棋手進(jìn)行單循環(huán)比賽，每兩人只對局一次，其中七人已經(jīng)分別賽過7、6、5、4、3、2、1盤。問另外一人比賽了幾盤？
【青海2014】
A.0
B.2
C.4
D.6 楚香凝解析：讓前7個人按照賽事多少編號為 ABCDEFG、第八個人編號 H。從兩端往中間分析，A 比賽了7盤，相當(dāng)于跟 B/C/D/E/F/G/H 都比賽一盤，G 只比賽一盤，所以只跟 A 比賽；B 比賽了六盤，所以跟 A/C/D/E/F/H（除了 G）都比賽過，F(xiàn) 比賽了兩盤，只跟 A/B 比賽過；C比賽了五盤，所以跟除了 A/B/D/E/H（除了 F 和 G）都比賽過，E 比賽了三盤，只跟 A/B/C比賽過；D 比賽了四盤，除了跟 A/B/C 比賽之外，只能跟 H 比賽一場，所以跟 H 比賽的人有A、B、C、D 四個人，選 C
對例5、例6、例7進(jìn)行總結(jié)，a 個人（a≥2）進(jìn)行單循環(huán)，其中 a-1個人分別賽過 a-1、a-2…1場，那么另外一人比賽了 b 場。
（1）當(dāng) a 為偶數(shù)時，b=a/2； （2）當(dāng) a 為奇數(shù)時，b=（a-1）/2；
例 8：某高校組織了籃球比賽。其中機(jī)械學(xué)院隊(duì)、外語學(xué)院隊(duì)、材料學(xué)院隊(duì)和管理學(xué)院隊(duì)被分在同一個小組，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽且無平局。結(jié)果機(jī)械學(xué)院隊(duì)贏了管理學(xué)院隊(duì)，且機(jī)械學(xué)院隊(duì)、外語學(xué)院隊(duì)和材料學(xué)院隊(duì)勝利的場數(shù)相同，則管理學(xué)院隊(duì)勝了多少場？ 【河南 2013】
A.3
B.2
C.1
D.0 楚香凝解析：總共 C（4 2）=6 場、總共勝 6 次負(fù) 6 次，機(jī)械、外語和材料勝利場數(shù)相同，如果都勝 1 次的話，那么管理學(xué)院勝 3 次，與題干機(jī)械贏了管理不符；則機(jī)械、外語和材料都勝兩次，管理勝了 0 次，選 D
例 9：某羽毛球賽共有 23 支隊(duì)伍報名參賽，賽事安排 23 支隊(duì)伍抽簽兩兩爭奪下一輪的出線權(quán),沒有抽到對手的隊(duì)伍輪空，直接進(jìn)入下一輪。那么，本次羽毛球賽最后共會遇到多少次輪空的情況？
【國家 2014】
A.1
B.2
C.3
D.4 楚香凝解析:只有奇數(shù)進(jìn)行分組的時候才能出現(xiàn)輪空的情況
23-------12-------6------3-------2-------1
輪空
輪空
，選 B
例 10：8 個甲級隊(duì)?wèi)?yīng)邀參加比賽，先平均分成兩組，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名和另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三、四名，整個賽程的比賽場數(shù)是（
�。�
【福建 2006】
A.16
B.15
C.14
D.13 楚香凝解析：分為兩組，每個組 4 隊(duì)單循環(huán)，共 2*C（4 2）=12 場；4 個隊(duì)伍決出冠亞軍共4 場，共 12+4=16 場，選 A
比賽人數(shù)類 例 1：在一次象棋比賽中，每兩個選手恰好比賽一局，每局贏者記 2 分，輸者記 0 分，平局每個選手各記 1 分，今有 4 個人統(tǒng)計(jì)這次比賽中全部得分的總數(shù)，由于有的人粗心，其數(shù)據(jù)各不相同，分別為 1979，1980，1984，1985，經(jīng)核實(shí)，其中有一人統(tǒng)計(jì)無誤，則這次比賽共有多少名選手參加？ A.44
B.45
C.46
D.47 楚香凝解析：總共 C（n
2）局，每局總分 2，所以總分為 n*（n-1），連續(xù)兩個自然數(shù)的尾數(shù)只能為 0、2、6，所以正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)果只能是 1980，我們想到 45 2 =2025，45*44=2025-45=1980 剛好滿足，所以 n=45，選 B
例 2：某乒乓球俱樂部決定舉辦一場所有會員間的循環(huán)賽，經(jīng)俱樂部委員會計(jì)算，所需比賽場數(shù)剛剛超過 2000 場，即使省略掉委員會委員們之間的比賽，場數(shù)仍有 2001 場，那么這個乒乓球俱樂部有______個委員。
【上海 2014】
A.6
B.7
C.8
D.9 楚香凝解析：假設(shè)俱樂部共 n 人，單循環(huán)需要比賽的場數(shù)為 C（n 2）剛大于 2000，代入n=64 時，64*63/2=2016 剛剛超過 2000，所以共 64 人、共 2016 場，忽略委員間比賽后有 2001場，所以委員間有 2016-2001=15 場，C（m 2）=15 得 m*(m-1)=30，解得 m=6,選 A
比賽概率類 例 1：田忌與齊威王賽馬并最終獲勝被傳為佳話，假設(shè)齊威王以上等馬、中等馬和下等馬的固定程序排陣，那么田忌隨機(jī)將自己的三匹馬排陣時，能夠獲得兩場勝利的概率是？ 【福建 2010】
A.2/3
B.1/3
C.1/6
D.1/9 楚香凝解析：齊威王的順序上中下是固定的，田忌的順序共有 A（3
3）=6 種，其中能獲得兩場勝利的只有下上中這一種，所以概率為 1/6，選 C
例2：兩支籃球隊(duì)打一個系列賽，三場兩勝制，第一場和第三場在甲隊(duì)的主場，第二場在乙隊(duì)的主場。已知甲隊(duì)主場贏球概率為0.7，客場贏球概率為0.5。問甲隊(duì)贏得這個系列賽的概率為多少？
【浙江2014】
A、0.3
B、0.595
C、0.7
D、0.795 楚香凝解析：甲在主客主三場中，主場贏的概率0.7、輸?shù)母怕?.3，客場輸或贏的概率都是0.5，分三類
主
客
主 贏贏
P 1 =0.7*0.5 贏輸贏
P 2 =0.7*0.5*0.7
輸贏贏
P 3 =0.3*0.5*0.7
P=P 1 +P 2 +P 3 =0.7*0.5+（0.7*0.5*0.7+0.3*0.5*0.7）=0.7*0.5+0.5*0.7=0.7，選 C
例 3：乒乓球比賽的規(guī)則是五局三勝制。甲、乙兩球員的勝率分別是 60%與 40%。在一次比賽中，若甲先連勝了前兩局，則甲最后獲勝的勝率是（
）。
【浙江 2006】
A.為 60%
B.在 81%～85%之間
C.在 86%～90%之間
D.在 91%以上 楚 香 凝 解 析 ：
乙 要 想 獲 勝 的 話 ， 接 下 來 的 3 局 必 須 全 勝 ， 則 乙 獲 勝 的 概 率P=0.4*0.4*0.4=0.064=6.4%，可得甲獲勝的概率=1-6.5%=93.6%，選 D
比賽總分?jǐn)?shù)類 例1：象棋比賽中，每個選手均與其他選手比賽一局，每局勝者得2分，負(fù)者得0分，和棋各得1分，那么以下可能是這次比賽所有選手得分的總和是：
【黑龍江2014】
A.78
B.67
C.56
D.89 楚香凝解析：假設(shè)總共有 n 個選手，單循環(huán)總場次= C(n 2)=n*(n-1)/2，因?yàn)槊繄鰺o論勝負(fù)總分?jǐn)?shù)為2分，所以總共的分?jǐn)?shù)為 n*(n-1)，連續(xù)兩個自然數(shù)乘積必為偶數(shù)，排除 BD，很容易想到七八五十六（此時總共8位選手，比賽了28場），選 C
比賽循環(huán)周期類 例 1：甲乙兩人在玩一個沙盤游戲。比賽的規(guī)則是：在一個分為 50 個單位的區(qū)域上，每人輪流去規(guī)定這些區(qū)域作為自己的領(lǐng)地，每次可以劃定 1 到 5 個單位，誰作為最后劃定區(qū)域的人則為勝利者。如果由甲先劃定，那么甲一開始要劃定（
�。﹤�單位，才能保證自己的獲勝。
【廣州 2014】
A.1
B.2
C.3
D.4 楚香凝解析：每次劃定 1-5 個單位，周期為 1+5=6，50 內(nèi)有 8 個周期，50-8*6=2，所以甲開始要劃定 2 個單位，接下來每次乙劃定 a 個單位時，甲只需劃定（6-a）個單位（保證兩人為一周期）則最后必定是甲來劃定完最后一個周期，選 B
拓展：如果題目改為誰作為最后劃定區(qū)域的人則為失敗者，那么甲一開始要劃定 1 個單位，然后乙劃定 a 個單位時，甲只需劃定 6-a 個單位（保證兩人為一周期），最后必定給乙留下最后 1 個單位。
比賽極值問題 ①總隊(duì)伍數(shù)極值 例 1：某機(jī)關(guān)打算在系統(tǒng)內(nèi)舉辦籃球比賽，采用單循環(huán)賽制，根據(jù)時間安排，只能進(jìn)行 21場比賽，請問最多能有幾個代表隊(duì)參賽？ A.6
B.7
C.12
D.14 楚香凝解析：假設(shè)有 n 個隊(duì)伍，總場數(shù)=n*（n-1）/2=21，整理得 n*（n-1）=42，所以 n=7，選 B
例 2：有 16 位選手參加象棋晉級賽. 每兩人都只賽一盤. 每盤勝者積 1 分, 敗者積 0 分。如果和棋, 每人各積 0.5 分。比賽全部結(jié)束后, 積分不少于 10 分者可以晉級，則本次比賽最多有名晉級者？ A.12
B.11
C.10
D.9 楚香凝解析：總分?jǐn)?shù)=1*C（16
2）=120 分；假設(shè) 12 人晉級的話，則另外 4 人都是 0 分（不成立，另外 4 人兩兩之間有 6 場比賽至少有 6 分）；假設(shè) 11 人晉級的話，則另外 5 人總分10 分，11 人每人賽 15 場，每個人 5 勝 10 平=10 分，另外 5 人每人平 4 負(fù) 12 即可滿足，選B
�、诜�?jǐn)?shù)極值 例 1：有 4 支隊(duì)伍進(jìn)行 4 項(xiàng)體育比賽，每項(xiàng)比賽的第一、第二、第三、第四名分別得到 5、3、2、1 分，每隊(duì)的 4 項(xiàng)比賽的得分之和算作總分，如果已知各隊(duì)的總分不相同，并且 A 隊(duì)獲得了三項(xiàng)比賽的第一名，問總分最少的隊(duì)伍最多得多少分？
【聯(lián)考 2009】
A.7
B.8
C.9
D.10 楚香凝解析：每項(xiàng)比賽總分=5+3+2+1=11 分，4 項(xiàng)比賽總共 44 分；要想最后一名得分最多，則其他隊(duì)伍得分最少；A 獲得三次第一總分最少為 3*5+1=16 分，剩下三只隊(duì)伍最多得分=44-16=28 分，后三名分?jǐn)?shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則第三名分?jǐn)?shù)=28/3≈9.3 分，最后一名分?jǐn)?shù)≈8.3，至多為 8 分，選 B
例 2：甲、乙、丙、丁四個隊(duì)參加五項(xiàng)比賽，每項(xiàng)第一名得 3 分，第二名得 2 分，第三名得1 分，第四名不得分，已知甲隊(duì)獲得了 3 次第一名，乙隊(duì)獲得了 3 次第二名，那么得分最少的隊(duì)的分?jǐn)?shù)不可能超過（
）分。
【廣東 2012】
A.5
B.6
C.7
D.8 楚香凝解析：每項(xiàng)總分=3+2+1=6 分，五項(xiàng)總分=5*6=30 分；要想第四名得分最高，其他隊(duì)伍得分就要最少，甲最少 9 分，剩下三個隊(duì)伍分?jǐn)?shù)和=30-9=21 分，所以第四名的成績不可能超過 21/3=7 分，選 C
例 3：一次數(shù)學(xué)考試滿分為 100 分，某班前六名同學(xué)的平均分為 95 分，排名第六的同學(xué)得分 86 分，假如每個人的得分是互不相同的整數(shù)，那么排名第三的同學(xué)最少得多少分？ 【北京社招 2009】
A.94
B.97
C.95
D.96 楚香凝解析：要想使得排名第三扣的分?jǐn)?shù)最多，其他人就要扣的最少，讓前兩名分別扣 0、1 分，第六名扣了 14，則這三人共扣了 15 分；六個人共扣 6*（100-95）=30 分，第 3、4、5 名共扣了 30-15=15 分，構(gòu)成等差數(shù)列，第四名扣了 15/3=5 分，則第三名扣了 4 分、得了96 分，選 D
例 4：一學(xué)生在期末考試中 6 門課成績的平均分為 92.5 分，且 6 門課的成績是互不相同的整數(shù)，最高分是 99 分，最低分是 76 分，則按分?jǐn)?shù)從高到低居第三的那門課至少得分為：
【江蘇 2012B】
A.93
B.95
C.96
D.97 楚香凝解析：要想使得第三門扣的最多，其他門就要扣的最少，讓前兩門分別扣 1、2 分，第六門扣 24 分，這三門共扣了 27 分；六門共扣了 6*（100-92.5）=45 分，第 3、4、5 門扣了 45-27=18 分，構(gòu)成等差數(shù)列，第四名扣了 18/3=6 分，則第三名扣了 5 分、得了 95 分，選 B
例 5：有 10 人參加籃球比賽，贏一局得 3 分，平 1 局得 1 分，輸一局不得分，那么第三名和第四名的分?jǐn)?shù)差最大是多少分？ A.20
B.18
C.17
D.16
楚香凝解析：第三名分?jǐn)?shù)最多的情況為前三名都是勝 8 負(fù) 1 共 24 分（A 輸給 B、B 輸給 C、C輸給 A）；第四名分?jǐn)?shù)最少的情況為后七名都是平 6 負(fù) 3 共 6 分，則第三名和第四名分?jǐn)?shù)差最大為 24-6=18，選 B
例 6：公司舉辦的內(nèi)部業(yè)務(wù)知識競賽有若干人參加，所有參賽者獲得的名次之和為 300，且所有人沒有并列名次。其中，銷售部門、售后服務(wù)部門和技術(shù)部門參賽者獲得的名次平均數(shù)分別為 11.3、10.4 和 9.2，問其他部門獲得的名次最高為多少？ 【河南 2014】
A.16
B.18
C.20
D.21 楚香凝解析：假設(shè)有 n 人，可得 1+2+3+…+n=n*（n+1）/2=300，所以 n*（n+1）=600，解得n=24；每個部門的總分?jǐn)?shù)必為整數(shù)，所以銷售部門人數(shù)為 10、售后服務(wù)部門人數(shù)為 5、技術(shù)部門人數(shù)為 5，總共 10+5+5=20 人、總名次=10*11.3+5*10.4+5*9.2=211，則其他部門的人數(shù)為 24-20=4、總名次=300-211=89，要想讓其中一個最高（名次數(shù)盡可能�。瑒t剩下的就得盡可能低（名次數(shù)盡可能大），剩下三個分別取 22、23、24，此時最高的名次為89-23*3=20，選 C
例 7：有一群人參加投籃比賽，比賽時長 3 分鐘，投進(jìn)一次記 2 分，不進(jìn)不扣分。所有人平均分為 77,最低分為 70。前四名分?jǐn)?shù)不同，其中第四名為 90 分，后發(fā)現(xiàn)此人作弊，成績無效。去掉此人后，平均分為 76 分。則此次比賽中第二名最多得多少分？ A.96
B.98
C.100
D.102 楚香凝解析：以前每人平均分 76，加了這個 90 分的人使得所有人平均分增加 1 分，說明總共 14 個人，以總分 100 為參照，共扣了 23*14=322 分，投進(jìn)一個得 2 分，所以每個人的總得分都為偶數(shù)、扣的分?jǐn)?shù)也為偶數(shù)；第二名要想扣的最少，其他人就要扣的盡可能多，第四名扣了 10 分，讓第三名扣了 8 分、第 5-14 都扣了 30 分，則第 3-14 名共扣了 30*10+10+8=318分，剩下 4 分是前兩名扣的，讓第一名扣 0 分、第二名扣 4 分，所以第二名 96 分，選 A
例 8：某機(jī)關(guān) 20 人參加百分制的普法考試，及格線為 60 分，20 人的平均成績?yōu)?88 分，及格率為 95%。所有人得分均為整數(shù)，且彼此得分不同。問成績排名第十的人最低考了多少分？ 【國家 2010】
A.89
B.88
C.91
D.90 楚香凝解析：20 人總共扣了 20*（100-88）=240 分，要想使得第十名得分最低，就要使第十名扣的分?jǐn)?shù)盡可能多，其他人扣的分?jǐn)?shù)盡可能少；前 9 名分別扣了 0、1…8 分、最后一名扣了 41 分，總共扣了 36+41=77 分，所以第十名到第 19 名這十個人扣了 240-77=163 分；因?yàn)榈?11 名到第 19 名扣的分?jǐn)?shù)要盡可能多，所以相當(dāng)于從第 10 名到第 19 名扣的分?jǐn)?shù)構(gòu)成公差為 1 的等差數(shù)列，中位數(shù)為第 14.5 名扣了 163/10=16.3 分，所以第 10 名扣了 16.3-（14.5-10）=11.8，第十名最多扣 11.8，所以取 11，則第十名最少得分為 100-11=89，選 A
例 9 ：
一個 20 人的班級舉行百分制測驗(yàn)，平均分為 79 分，所有人得分都是整數(shù)且任意兩人得分不同。班級前 5 名的平均分正好是 16 到 20 名平均分的 2 倍。則班級第 6 名和第 15 名之間的分差最大為多少分？
【北京 2014】
A.34
B.37
C.40
D.43 楚香凝解析：要使得第 6 名和第 15 名分差最大，讓第六名分?jǐn)?shù)盡可能高、第 15 名分?jǐn)?shù)盡可能低；構(gòu)造前五名的成績分別是 100、99、98、97、96 分，后五名的成績分別是 51、50、49、48、47，此時第六名 95 分、第 15 名 52 分，分差 95-52=43；第 7-第 14 名的總成績=79*20-（100+95）*3-（52+47）*3=698 分，8 個人的平均分 87.25，顯然可以構(gòu)造出，所以 43 即為正確答案，選 D
�、劭偩�?jǐn)?shù)極值 例 1：小楊、小李、小魏三人比賽下圍棋，每局兩人，輸者退下?lián)Q另一個人。這樣繼續(xù)下去，在小楊下了 8 局，小李下了 5 局時，小魏最多下了幾局？
A.12
B.11
C.10
D.9
楚香凝解析：假設(shè)小魏下了 a 局、總共 b 局，則小楊和小李下了（b-a）局，由兩容斥公式可得 8+5-（b-a）=b，整理得 13+a=2b，所以 a 為奇數(shù)，排除 AC；最理想的情況下，小魏一局沒輸，小魏的對手分別為小楊、小李、小楊、小李…交替，總共 11 局，其中小楊下了 6局、小李下了 5 局，不符合題意，排除 B；選 D
例 2：8 個人比賽國際象棋，約定每兩人之間都要比賽一局，勝者得 2 分，平局得 1 分，負(fù)的不得分。在進(jìn)行了若干局比賽之后，發(fā)現(xiàn)每個人的分?jǐn)?shù)都不一樣。問最多還有幾局比賽沒比？
【山西 2014】
A.3
B.7
C.10
D.14 楚香凝解析：每局不管誰勝誰負(fù)，兩人總分?jǐn)?shù)為 2 分，八個人單循環(huán)賽總共 C82=28 場，總分?jǐn)?shù)應(yīng)該為 28*2=56 分，每個人得分不一樣，我們令八個人目前的得分分別為 0、1、2…7，總共得了 8*7/2=28 分，還差 28 分，所以還差 28/2=14 局比賽沒比，選 D
例 3：某單位組織的羽毛球男單比賽共有 48 名選手報名參加，比賽采用淘汰賽制，在比賽中負(fù)一場的選手即被淘汰，直至決出最后的冠軍，如每名選手每天最多參加一場比賽，則比賽至少需要舉行幾天？
【北京 2014】
A.4
B.5
C.6
D.7 楚香凝解析：第一天比賽完剩下 24 名選手，第二天比賽完剩下 12 名，第三天比賽完剩下 6名，第四天比賽完剩下 3 名，第五天比賽完剩下 2 名（有一人沒參與），第六天可以決出冠軍，選 C
例 4：象棋邀請賽的六名選手舉行雙循環(huán)賽,最后各人的獲勝的次數(shù)都不相同。那么比賽最多有多少場平局？ A.0
B.1
C.9
D.15 楚香凝解析：總場數(shù) A（6
2）=30，六個人獲勝場數(shù)分別為 0、1、2、3、4、5 共 15 場，則平局最多為 30-15=15 場，選 D
比賽結(jié)果種數(shù)類 例 1：某社區(qū)組織開展知識競賽，有 5 個家庭成功晉級決賽的搶答環(huán)節(jié)，搶答環(huán)節(jié)共 5 道題。計(jì)分方式如下：每個家庭有 10 分為基礎(chǔ)分；若搶答到題目，答對一題得 5 分，答錯一題扣
2 分；搶答不到題目不得分。那么，一個家庭在搶答環(huán)節(jié)有可能獲得（
�。┓N不同的分?jǐn)?shù)。
【廣東 2013】
A.18
B.21
C.25
D.36 楚香凝解析：分類，答對一道和答錯一道相差 5+2=7 分； ①搶到 0 道時，得分只有一種，即基礎(chǔ)分 10 分； ②搶到 1 道時，得分有兩種，答錯為 8 分、答對為 15 分； ③搶到 2 道時，得分有三種，分別是 6、13、20； ④搶到 3 道時，得分有四種，分別是 4、11、18、25； ⑤搶到 4 道時，得分有五種，分別是 2、9、16、23、30； ⑥搶到 5 道時，得分有六種，分別是 0、7、14、21、28、35； 共 1+2+3+4+5+6=21 種，選 B
例 2：某次數(shù)學(xué)競賽共有 10 道選擇題，評分辦法是答對一道得 4 分，答錯一道扣 1 分，不答得 0 分。設(shè)這次競賽最多有 N 種可能的成績，則 N 應(yīng)等于多少？
【深圳 2008】
A.45
B.47
C.49
D.51 楚香凝解析：分類，答對一道和答錯一道相差 5 分； ①答 0 道時，得分只有一種，即 0 分； ②答 1 道時，得分有兩種，答錯為-1、4； ③答 2 道時，得分有三種，分別是-2、3、8； ④答 3 道時，得分有四種，分別是-3、2、7、12； ⑤答 4 道時，得分有五種，分別是-4、1、6、11、16； ⑥答 5 道時，得分有六種，分別是-5、0、5、10、15、20； ⑦答 6 道時，得分有七種，分別是-6、-1、4、9、14、19、24； ⑧答 7 道時，得分有八種，分別是-7、-2、3、8、13、18、23、28； ⑨答 8 道時，得分有九種，分別是-8、-3、2、7、12、17、22、27、32； ⑩答 9 道時，得分有十種，分別是-9、-4、1、6、11、16、21、26、31、36； ⑾答 10 道時，得分有十一種，分別是-10、-5、0、5、10、15、20、25、30、35、40； 可以看出從①-⑥都是包含在⑦-⑾里的，所以我們用 1+2+…+11=66 算出總數(shù)后，還要減掉其中重復(fù)的情況數(shù) 1+2+…+6=21，共 66-21=45 種，選 A
對于此類問題，楚老師先給出公式：
a 道題，對一道得 b 分、錯一道得 c 分、不答 0 分，共有多少種得分情況？ （1）當(dāng) b 和 c 不互質(zhì)時，先同時除以最大公約數(shù)變成標(biāo)準(zhǔn)形式；
（2）當(dāng) b 和 c 互質(zhì)時，(1+2+3+…[a+1])-(1+2+…+[a-b-c+1])，其中（1+2+…+[a-b-c+1]）表示重復(fù)的情況數(shù)，如果[n-a-b+1]≤0 的話，公式就變?yōu)?1+2+3+…[a+1])；
關(guān)于互質(zhì)情況的詳細(xì)證明在此不作贅述，只以例 2 為例作簡單分析幫助大家理解。
有 a 道題，總情況數(shù)=1+2+3+…[a+1]種 為什么會出現(xiàn)重復(fù)，我們假設(shè)對了 m 道錯了 n 道，當(dāng) m+n+4+1≤10 時，例如對了 2 道錯了 1道，我們可以在此基礎(chǔ)上多對 1 道、多錯 4 道（1*4-4*1=0），相當(dāng)于增加了 0 分對總分沒影響，這就是出現(xiàn)重復(fù)的原因，要想避免重復(fù)的話 m+n 必須＞5，所以答的題目數(shù)至少為 6道、要從⑦開始加。
對于不互質(zhì)的情況，需要進(jìn)行一步簡單的轉(zhuǎn)化。
例 1：某次數(shù)學(xué)競賽共有 10 道選擇題，評分辦法是答對一道得 4 分，答錯一道扣 2 分，不答得 0 分。設(shè)這次競賽最多有 N 種可能的成績，則 N 應(yīng)等于多少？
楚香凝解析：此時 a=10、b=4、c=2，b 和 c 不互質(zhì)，所以同時除以最大公約數(shù) 2，轉(zhuǎn)化為 a=10、b=2、c=1、a-b-c+1=8，代入公式（1+2+…+11）-（1+2+…8）=9+10+11=30； 或者我們也可以簡化步驟，從 10+1=11 開始遞減，總共有 2+1=3 個數(shù)，即是 11+10+9=30。
變式：
例 2：某次數(shù)學(xué)競賽共有 10 道選擇題，評分辦法是回答完全正確得 5 分，不完全正確得 3分，完全錯誤得 0 分。設(shè)這次競賽最多有 N 種可能的成績，則 N 應(yīng)等于多少？ 楚香凝解析：我們只需做一步轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型。
雞兔同籠思想，假設(shè)初始為 30 分，相當(dāng)于 10 道題全部不完全正確，在此基礎(chǔ)上，每對一道增加 2 分、每錯一道減少 3 分，那么就變成了 某次數(shù)學(xué)競賽共有 10 道選擇題，基礎(chǔ)分 30 分，評分辦法是回答完全正確得 2 分，不完全正確得 0 分，完全錯誤得-3 分。設(shè)這次競賽最多有 N 種可能的成績，則 N 應(yīng)等于多少？ 楚香凝解析：a=10、b=2、c=3，從 11 開始往后加、總共 5 個數(shù)，所以是 11+10+9+8+7=45種。
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