余弦定理教學(xué)案例_余弦定理公式

　　摘要:辯證唯物主義認(rèn)識論、現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀和建構(gòu)主義教學(xué)觀與學(xué)習(xí)觀指導(dǎo)下的“情境 .問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)實驗,旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識,養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、形成獨立思考的習(xí)慣,提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力,增強學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是前提,提出問題是重點,解決問題是核心,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識是目的,因此所設(shè)情境要符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。
　　關(guān)鍵詞:余弦定理;教學(xué)案例;三角形
　　中圖分類號:G630文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1003-2851(2010)09-0080-02
　　
　　在初中的學(xué)習(xí)三角形全等的過程已經(jīng)認(rèn)識到對于確定一個三角形需要至少三個條件,但是并不是只要有三個條件就可以確定一個三角形了,那么在能夠確定的三角形中如何去計算其他邊角的值呢?在已知學(xué)習(xí)了正弦定理的條件下,余弦定理的出現(xiàn)也是順理成章的事情,并且“余弦定理”具有一定廣泛的應(yīng)用價值,教學(xué)中我們從實際需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境。
　　【案例過程】
　　1、設(shè)置情境
　　自動卸貨汽車的車箱采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿 BC的長度(如下圖),已知車箱的最大仰角為60°,油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95m,AB與水平線之間的夾角為6°20",AC的長為1.40m,計算BC的長(保留三個有效數(shù)字)。
　　2、提出問題
　　師:大家想一想,能否把這個實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題?(數(shù)學(xué)建模)
　　生:能,在三角形 ABC,已知AB=1.95m,AC=1.40m,∠BAC=60°+6°20′=66°20′,求BC的長。
　　師:能用學(xué)過的知識求解嗎?為什么?
　　生:不能。這個不是特殊的三角形,又正弦定理主要解決:已知三角形的兩邊與一邊的對角,求另一邊的對角;已知三角形的兩角與一邊,求角的對邊。 (師生共同回顧,并復(fù)習(xí)正弦定理和適用范圍)
　　師:那么我們把這個問題一般化,也就是它的實質(zhì)是什么?
　　生:在三角形中,已知兩邊和它們的夾角,求第三邊。(一般化)三角形 ABC,知AC=b,BC=a,角C,求AB。
　　(當(dāng)然在學(xué)生的總結(jié)過程中沒有這么精煉,要求在平時多多訓(xùn)練,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣)
　　3、解決問題
　　師:請同學(xué)們想一想,我們以前遇到這種一般問題時,是怎樣處理的?( 引導(dǎo)學(xué)生思考一般我們在探索數(shù)學(xué)新知的過程中,如何處理這些問題的)
　　師生共同:先從特殊圖形入手,尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。(特殊化)
　　可以先在直角三角形中試探一下。
　　直角三角形中c2=a2+b2 (勾股定理角C為直角)
　　斜三角形ABC中(如圖3),過A作BC邊上的高AD,將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。(聯(lián)想構(gòu)造)
　　師:垂足 D一定在邊BC上嗎?
　　不一定,當(dāng)角 C為鈍角時,點D在BC的延長線上。
　　(分類討論,培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度研究問題)
　　在銳角三角形 ABC中,過A作AD垂直BC交BC于D,在直角三角形ADB中,AB2=AD2+BD2 ,在直角三角形ADC中,AD=ACsinC, CD=ACcosC 即AD=bsinC, CD=bcosC
　　又 BD=BC-CD,即BD=a-bcosC
　　∴c2=b(sinC)2+(a-bcosC)2
　　=b2sinC+a2-2abcosC+b2cos2C
　　=a2+b2-2abcosC
　　同理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB
　　在鈍角三角形 ABC中,不妨設(shè)角C為鈍角,過A作AD垂直BC交BC的延長線于D, 在直角三角形 ADB中,AB2=AD2+BD2 ,在直角三角形ADC中,AD=ACsin(π-C),CD=ACcos(π-C),即AD=bsinC, CD=-bcos C,又BD=BC+CD,即BD=a-bcosC
　　同理:a2=b2+c2-2bccosA
　　b2=a2+c2-2accosB
　　c2=a2+b2-2abcosC
　　這是學(xué)生的一般思路,但是我們發(fā)現(xiàn)這個證明過程顯得復(fù)雜,數(shù)學(xué)我們是一種懶人教育,如何聯(lián)系前面學(xué)過的知識,使得不需要討論而更簡潔方便,聯(lián)想余弦與邊的關(guān)系同時回顧正弦定理的證明過程中所用到的思想,發(fā)現(xiàn)和向量的數(shù)量積有點相聯(lián)系。構(gòu)造向量間的關(guān)系
　　[推導(dǎo)] 如圖在三角形 ABC中,AB、BC、CA的長分別為c、a、b
　　即b2=a2+c2-2accosB
　　同理可證 ,a2=b2+c2-2bccosA, c2=a2+b2-2abcosC
　　4.得出結(jié)論
　　余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的預(yù)先的積的兩倍。即a2=b2+c2-2bccosA
　　b2=a2+c2-2accosB
　　c2=a2+b2-2abcosC
　　5.適用范圍
　　已知兩邊和夾角,求其他邊角
　　6.實際問題解決
　　教學(xué)情境中的問題
　　7.課堂小練
　　(1)在△ABC中,bCosA=acosB,則三角形為( )
　　 A直角三角形 B銳角三角形
　　C等腰三角形?D等邊三角形
　　(2)在△ABC中,若a2>b2+c2,則△ABC為――;若a2=b2+c2,則△ABC為 ――――;若a2

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