王振東：大風(fēng)起兮云飛揚(yáng)——漫話流動(dòng)顯示及納斯方程

發(fā)布時(shí)間:2020-06-02 來源: 幽默笑話點(diǎn)擊：

　　古代詩詞：以流動(dòng)顯示來抒發(fā)情思

　　大風(fēng)起兮云飛揚(yáng)，

　　威加海內(nèi)兮歸故鄉(xiāng)，

　　安得猛士兮守四方！

　　這是漢高祖劉邦（公元前247～前195）在擊破英布軍以后，回長安時(shí)，途經(jīng)他的故鄉(xiāng)沛（今江蘇徐州市沛縣），設(shè)宴招待家鄉(xiāng)的故交父老，酒酣時(shí)自己擊筑（古代樂器）而歌，所作慷慨豪情的《大風(fēng)歌》。

　　《史記：高祖本紀(jì)》：“高祖（劉邦）還歸，過沛、留。置酒沛宮，悉召故人父老子弟縱酒，發(fā)沛中兒得百二十人，教之歌。酒酣，高祖擊筑，自為歌詩曰：大風(fēng)起兮云飛揚(yáng)，威加海內(nèi)兮歸故鄉(xiāng)，安得猛士兮守四方！令兒皆和習(xí)之。高祖乃起舞，慷慨傷懷，泣數(shù)行下”，正是記載了這段歷史。劉邦短短三句，洋洋自得，氣壯山河，但并沒有被勝利沖昏頭腦，最后一句流露出了居安思危的憂患意識(shí)。

　　劉邦在這里是以“云飛揚(yáng)”流動(dòng)顯示大氣運(yùn)動(dòng)的物理圖像，來抒發(fā)衣錦還鄉(xiāng)、榮歸故里的壯志豪情。這是歷史上有名的一則典故,“大風(fēng)歌”或“大風(fēng)詩”的來歷。之后直至現(xiàn)代，不少人皆仿此“歌大風(fēng)、唱大風(fēng)”，以表示慷慨悲歌、治國安邦的豪情壯懷。如：

　　漢武帝劉徹（前156～前87）也有—首以風(fēng)吹白云飛，表達(dá)情感的詩《秋風(fēng)辭》

　　秋風(fēng)起兮白云飛，草木黃落兮雁南歸。

　　蘭有秀兮菊有芳，攜佳人兮不能忘。

　　泛樓舡兮濟(jì)汾河，橫中流兮揚(yáng)素波。

　　簫鼓鳴兮發(fā)棹歌，歡樂極兮哀情多。

　　少壯幾時(shí)兮奈老何。

　　唐太宗李世民（599～649）《辛武功慶善宮》詩

　　共樂還鄉(xiāng)宴，歡比大風(fēng)詩。

　　《過舊宅二首》之二

　　八表文同軌，無勞歌大風(fēng)

　　李白《登廣武古戰(zhàn)場懷古》詩

　　按劍清八極，歸酣歌大風(fēng)

　　林寬《歌風(fēng)臺(tái)》詩

　　蒿棘空存百尺基，酒酣曾唱大風(fēng)詞

　　王德貞《奉和圣制過溫湯》詩

　　停輿興睿覽，還舉大風(fēng)篇

　　直到近代也有類似的大風(fēng)詩，如：

　　董必武（1885～1975）《感時(shí)雜詠》詩

　　欲守四方歌大風(fēng)，飛鳥未盡先藏弓。

　　朱德（1886～1976）《贈(zèng)友人》詩

　　北華收復(fù)賴群雄，猛士如云唱大風(fēng)。

　　陳毅（1901～1972）《萊蕪大捷》詩

　　魯中霽雪明飛幟，渤海洪波唱大風(fēng)。

　　現(xiàn)在以云來顯示大氣的流動(dòng)，己很常見。如在電視臺(tái)的氣象預(yù)報(bào)節(jié)目中，人們常能看到由云顯示千姿百態(tài)流動(dòng)圖案的衛(wèi)星云圖，所顯示大氣中所發(fā)生的動(dòng)力過程。

　　也有古詩用風(fēng)葉和船只所顯示的流體運(yùn)動(dòng)，來形象、生動(dòng)地比喻和描述遠(yuǎn)行在外人的行跡和旅途。如宋代詩人范成大（1126～1193）的五言律詩《道中》

　　月冷吟蛩草，湖平宿鷺沙�？统顭o錦字，鄉(xiāng)信有燈花。

　　蹤跡隨風(fēng)葉，程途犯斗槎。君看枝上鵲，薄暮亦還家。

　　程途是指旅程途中，槎（chá）亦做查、楂，系水中木筏意，犯斗槎是指遠(yuǎn)行所乘的船只。

　　古代詩人還常以楊絮、柳絮以及蟲類拉的絲（亦名游絲、晴絲），所顯示的空氣流動(dòng)情況（風(fēng)、對(duì)流或布朗運(yùn)動(dòng)），來抒發(fā)各種各樣的情思，如：

　　韓愈（768～824）《晚雪》詩

　　楊花榆莢無才思，唯解漫天作雪飛。

　　以及《次同冠峽》詩

　　落英千尺墮，游絲百丈飄。

　　周紫芝《踏莎行》詞

　　情似游絲，人如飛絮，淚珠閣定空相覷。

　　范成大《碧瓦》詩

　　無風(fēng)楊柳漫天絮，不雨棠梨滿地花。

　　以及《初夏二首》詩

　　晴絲千尺挽韶光，百舌無聲燕子忙。

　　韶光是美好的時(shí)光，這里指春天。詩人想象春末夏初的游絲是在戀惜時(shí)光，想把春天挽留住。

　　石矛《絕句》詩

　　來時(shí)萬縷弄輕黃，去日飛毬滿路旁。

　　我比楊花更飄蕩，楊花只是—春忙。

　　以楊花比喻自己奔波游宦，道出了深沉的鄉(xiāng)思旅愁。

　　蘇軾《水龍吟•和章質(zhì)夫楊花韻》詞

　　似花還似非花，也無人惜從教墜，拋家旁路，思量卻是，無情有思。

　　將楊花比作纏綿衰感的思婦。

　　文天祥《過零丁洋》詩

　　山河破碎風(fēng)拋絮，身世飄搖雨打萍

　　把楊花比作日益淪喪的國土。

　　各種各樣的流動(dòng)顯示方法

　　流動(dòng)顯示是在力求不改變流體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的前提下，用圖像顯示流體運(yùn)動(dòng)的方法，其任務(wù)是使流體不可見的流動(dòng)特征,成為可見的。俗話說“百聞不如—見”，人們通過流動(dòng)顯示看到了流場的特征，從而可進(jìn)一步研究探索和應(yīng)用流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

　　西方一些人認(rèn)為，意大利文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家和科學(xué)家達(dá)•芬奇（Da.Vinci，1452～1519），是第一個(gè)運(yùn)用流動(dòng)顯示的方法,來敘述渦旋構(gòu)圖的人。但比起運(yùn)用流動(dòng)顯示的圖像，來描述峽江水流渦旋的運(yùn)動(dòng)特征，和抒情言志的我國古代詩人，達(dá)•芬奇卻要落后好幾個(gè)世紀(jì)了。

　　首先應(yīng)用流動(dòng)顯示方法,對(duì)現(xiàn)代流體力學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)，當(dāng)推英國科學(xué)家雷諾（O.Reynolds,1842～1912）。他在1883年，將苯胺染液注入長的水平管道水流中做示蹤劑，從而可以看出管中水的流動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)流速小時(shí)，苯胺染液形成一根纖細(xì)的直線與管軸平行，表示流動(dòng)是穩(wěn)定的和有規(guī)則的流動(dòng)，稱為層流；
當(dāng)流速慢慢地增加，達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，流動(dòng)形式突然發(fā)生變化，那根苯胺染液細(xì)線受到激烈的擾動(dòng)，苯胺染液迅速地散布于整個(gè)管內(nèi)，表示流動(dòng)己十分紊亂，稱為湍流。這一試驗(yàn)明確提出了兩種不同的流動(dòng)狀態(tài)，及其轉(zhuǎn)捩的概念，還提出了后來被稱為“雷諾數(shù)”的這一十分重要的無量綱參數(shù)。至今湍流研究的歷史，一般都公認(rèn)從1883年雷諾這個(gè)經(jīng)典的流動(dòng)實(shí)驗(yàn)算起。

　　德國科學(xué)家普朗特（L.Prandtl,1875～1953），1904年用在水中撤放粒子的方法，獲得了水沿薄平板運(yùn)動(dòng)的畫面。由于畫面上粒子留下的軌跡正比于流動(dòng)的速度，在靠近壁面有一薄層，其中速度比離壁面較遠(yuǎn)處的速度明顯較小，且有大的速度梯度。正是對(duì)這一流動(dòng)顯示畫面的觀察和分折，使他提出了邊界層的概念，指出在遠(yuǎn)離壁面處，可不計(jì)黏性，能應(yīng)用理想流體力學(xué)的研究結(jié)果；
而在物體表面附近的薄層中，由于有很大的速度梯度，從而產(chǎn)生很大的剪切力，不能忽略黏性。這一基于流動(dòng)顯示的新觀點(diǎn)，使得可利用邊界層很薄的特點(diǎn)，使問題的數(shù)學(xué)處理大為簡化，至今它仍是黏性流體力學(xué)最重要的基礎(chǔ)理論之一。

　　20世紀(jì)50年代，有人提出了氫氣泡顯示技術(shù)：用很細(xì)的金屬絲放在水中作為陰極，通電后在金屬絲上形成的氫氣泡隨水流走，而成為顯示流場的示蹤粒子�？死穑↘line）等1967年首先用氫氣泡顯示技術(shù)，發(fā)現(xiàn)了近壁湍流的相干結(jié)構(gòu)（Coherent Structure,也有譯為擬序結(jié)構(gòu)）。這是一種大尺度的渦旋運(yùn)動(dòng)，它在將平均運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鲃?dòng)能的過程中，作了大部分貢獻(xiàn)。后來經(jīng)許多人用更精確、先進(jìn)的實(shí)驗(yàn)手段（熱線熱膜測速、激光測速以及數(shù)據(jù)自動(dòng)采集、圖像處理技術(shù)等）進(jìn)行重復(fù)，使實(shí)驗(yàn)越做越精確。不但對(duì)壁湍流，而且對(duì)自由剪切湍流也發(fā)現(xiàn)了相干結(jié)構(gòu)，到20世紀(jì)80年代，湍流相干結(jié)構(gòu)已為國際流體力學(xué)界公認(rèn)，并認(rèn)為這是對(duì)湍流生成、維持、演化起主要作用的結(jié)構(gòu)。這一由流動(dòng)顯示所發(fā)現(xiàn)的相干結(jié)構(gòu)，被認(rèn)為是對(duì)湍流認(rèn)識(shí)上的一次革命，是在湍流研究上的一次重大進(jìn)展。80年代之后至今，關(guān)于湍流相干結(jié)構(gòu)及其控制的研究，一直湍流研究的熱點(diǎn)課題。

　　由以上三個(gè)例子可見，流動(dòng)顯示是了解流體運(yùn)動(dòng)特性，并深入探索其物理機(jī)制的一種直觀、有效的手段。它能發(fā)現(xiàn)新的流動(dòng)現(xiàn)象，如層流和湍流兩種流動(dòng)狀態(tài)及其轉(zhuǎn)捩、渦旋、分離、激波、邊界層、壁湍流相干結(jié)構(gòu)等；
據(jù)了解，流動(dòng)顯示技術(shù)己在許多實(shí)際問題的研究中,發(fā)揮了很大的作用，如三角翼和雙三角翼的前緣主渦、二次渦和尾渦的形成和發(fā)展，鈍物體尾跡的渦旋結(jié)構(gòu)，以及多體干擾等。

　　上面提到的流動(dòng)顯示方法，,主要只涉及到示蹤法。示蹤法是在流體中加入某些示蹤物質(zhì)，通過對(duì)加入物質(zhì)蹤跡觀察得到流體運(yùn)動(dòng)的圖像。由于所加示蹤物質(zhì)的不同，又可分為用途不一的煙跡（含煙絲）法、染色線法、空氣泡和氫氣泡法、氦氣泡法、激光-熒光法、蒸汽屏法等。當(dāng)然，在流體中加入了示蹤粒子，就又存在粒子的跟隨性問題。

　　除示蹤法外，流動(dòng)顯示的方法還有光學(xué)方法和表面涂料顯跡法。光學(xué)方法又分陰影法、紋影法和干涉法。前兩者利用了光通過非均勻流場不同部位時(shí)的折射效應(yīng)，后者通過擾動(dòng)光和未擾動(dòng)光的相互干涉得到干涉條紋圖，從而進(jìn)一步可得到流動(dòng)參數(shù)的定量結(jié)果。表面涂料顯跡法是在物面上涂以薄層物質(zhì)，以其與流動(dòng)相互作用時(shí)，產(chǎn)生一定的可見圖像，從而可定性或定量的推斷物面附近的流動(dòng)特性。按所涂物質(zhì)的不同，還可分為油流（熒光油流）、絲線（熒光微絲）、染料、升華、相變涂層、液晶、感溫漆等方法。

　　流動(dòng)顯示技術(shù)目前發(fā)展相當(dāng)快，特別是與計(jì)算機(jī)圖像處理技術(shù)相結(jié)合，使傳統(tǒng)的流動(dòng)顯示方法得到很大的改進(jìn)。計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)的采集與處理，可對(duì)顯示結(jié)果進(jìn)行深度的加工分析，以獲得更清晰的流動(dòng)圖像，以及有關(guān)流動(dòng)參數(shù)的分布。

　　多種流動(dòng)顯示方法的聯(lián)合使用，又可得到更豐富的流動(dòng)信息。隨著光學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，激光全息術(shù)、光學(xué)層析術(shù)、散斑、粒子成像測速（PIV—Particale Image Velocimetry）、激光誘導(dǎo)熒光（LIF—Laser Induce Fluorescent）等方法也己出現(xiàn)并在發(fā)展完善之中，為實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)、高分辨率和定量化的空間流動(dòng)顯示展現(xiàn)了美好的前景。

　　數(shù)值模擬、實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)和世紀(jì)數(shù)學(xué)難題

　　要弄清流動(dòng)顯示對(duì)流體力學(xué)的研究能有多大的作用，還需要從流體力學(xué)的研究現(xiàn)狀來說起。

　　力學(xué)是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的科學(xué)，流體力學(xué)更是建立在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上。在流體力學(xué)中，絕大多數(shù)重要的概念和原理都源于實(shí)驗(yàn)，例如：大氣壓強(qiáng)，流體的可壓縮性，黏性剪應(yīng)力，層流，湍流，雷諾數(shù)，卡門渦，二次流，附加質(zhì)量，激波，孤立波，湍剪切流的相干結(jié)構(gòu)，聲障現(xiàn)象等；
又如，完全氣體的狀態(tài)方程，連續(xù)性方程，能量守恒原理，達(dá)西定律，托里拆利原理，伯努利原理等。

　　瑞士數(shù)學(xué)家、力學(xué)家歐拉（Euler,L. 1707~1783）于1755年,建立了理想流體的動(dòng)力學(xué)方程組，現(xiàn)稱為歐拉方程組。法國力學(xué)家、工程師納維（Navier,C.L.M.H. 1785~1836）于1821年，以及英國力學(xué)家、數(shù)學(xué)家斯托克斯（Stokes,G.G. 1819~1903）于1845年,分別對(duì)黏性不可壓縮流體建立了動(dòng)力學(xué)方程組，現(xiàn)稱為納維—斯托克斯方程組。在無黏性的情況下，納維―斯托克斯方程組可簡化為歐拉方程組�，F(xiàn)在人們對(duì)于自然界、國防和各種工程技術(shù)中的流體力學(xué)問題，都在用納維―斯托克斯方程組進(jìn)行分析、計(jì)算和研究。納維―斯托克斯方程組（亦可簡稱為：納斯方程），現(xiàn)被公認(rèn)是描述流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的流體力學(xué)基本方程組。

　　對(duì)于納維—斯托克斯方程組，經(jīng)過150多年的研究，僅在—些簡化的特殊情況下，找到不多的準(zhǔn)確解。由于納維—斯托克斯方程組光滑解的存在性問題，至今尚沒有在數(shù)學(xué)上解決，且這個(gè)問題又關(guān)系到人類的生產(chǎn)、生活、軍事和對(duì)大自然的認(rèn)識(shí)，極其重要，所以克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)（Clay Mathematics Institute ）于2000年5月24日在法國巴黎的法蘭西學(xué)院，將其發(fā)布為新千年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)懸賞的7個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)難題之—，懸賞獎(jiǎng)金高達(dá)一百萬美元�？巳R數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)發(fā)布的7個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)難題是：P與NP問題、黎曼（Riemann）假設(shè)、龐加萊（Poincaré）猜想、霍奇（Hodge）猜想、貝爾什和斯威爾頓（Birch及Swinnerton-Dyer）猜想、納維―斯托克斯方程、楊―米爾斯（Yang-Mills）理論。比納維—斯托克斯方程組簡單得多的歐拉方程組，解的存在性的問題也尚未得到證明，只是它不屬于懸賞獎(jiǎng)勵(lì)的問題內(nèi)容。

　　在學(xué)習(xí)微分方程理論時(shí)，我們知道：

　�。�1）如果某物理問題的微分方程，被證明其解不僅存在而且唯一時(shí)，則無論用何種方法找到這個(gè)微分方程的解，可以認(rèn)為這就是該物理問題方程的解。

　�。�2）當(dāng)某物理問題的微分方程，被證明解是存在的，但卻不見得唯一時(shí)，則如用—種方法找到了解，還必須研究解的穩(wěn)定性問題，只有證明了所找到的解是穩(wěn)定的，才能認(rèn)為這個(gè)解有可能代表實(shí)際存在的物理現(xiàn)象。

　�。�3）如果某物理問題的微分方程，解的存在性尚還不能被證明，若用某種近似方法（如漸近方法或差分法、有限元法等各種數(shù)值方法）找到了“解”，則難以肯定它是否真是代表實(shí)際存在的物理現(xiàn)象的解。

　　不幸的是，流體力學(xué)中所遇到的歐拉方程組和納維—斯托克斯方程組，正好都屬于第三種情況。

　　如果經(jīng)過數(shù)學(xué)家的努力，解決了懸賞的問題，納維—斯托克斯方程組解的存在性問題得到了證明，這自然是皆大歡喜的好事。(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁)

　　可是關(guān)于納維—斯托克斯方程組解的存在性問題的懸賞，也還包括給出其解不存在的證明。如果是后者獲獎(jiǎng)，那問題就大了。當(dāng)然也有這種可能，經(jīng)過仔細(xì)研究后認(rèn)為納維—斯托克斯方程組應(yīng)做出某些修正和改進(jìn)，才能使解存在。如是這樣，流體力學(xué)教科書就需要改寫了。

　　可是，大量的自然界、國防和各種工程實(shí)際中的流體力學(xué)問題需要解決，并不能等你弄清方程組解的存在性后再說。人們只能在用理論分析、數(shù)值計(jì)算、物理實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，研究、解決所遇到的流體力學(xué)問題。

　　這三種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)方法的優(yōu)點(diǎn)是能直接解決生產(chǎn)中的復(fù)雜問題，能發(fā)現(xiàn)流動(dòng)中的新現(xiàn)象和新原理，其結(jié)果可作為撿驗(yàn)其他方法是否正確的依據(jù)；
缺點(diǎn)是對(duì)不同情況需做不同的實(shí)驗(yàn)，且所需人力、財(cái)力、物力較多，花費(fèi)大。分析方法的優(yōu)點(diǎn)是可明確給出各物理量與流動(dòng)參數(shù)之間的變化關(guān)系，普適性較好；
缺點(diǎn)是數(shù)學(xué)上的困難很大，能獲得的分析解（包括近似的分析解）的數(shù)量有限。數(shù)值計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)是可對(duì)分析法無法求解的問題，求得其數(shù)值解，且花費(fèi)相對(duì)較小；
缺點(diǎn)是對(duì)復(fù)雜而又缺乏完善數(shù)學(xué)模型的問題，仍無能為力。分析解及數(shù)值解都是建立在具有—定假設(shè)條件的運(yùn)動(dòng)方程組之上的，其結(jié)果仍都應(yīng)受到物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果的撿驗(yàn)。由于納維—斯托克斯方程組解的存在性問題至今尚未解決，就更難以肯定數(shù)值方法找到的解，是否代表真實(shí)的流體運(yùn)動(dòng)。所以，數(shù)值摸擬與物理實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)差別并未消失，數(shù)值模擬尚不能替代物理實(shí)驗(yàn)，數(shù)值摸擬的結(jié)果必須用物理實(shí)驗(yàn)來撿驗(yàn)其正確性。

　　由于計(jì)算機(jī)和數(shù)值計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，出于科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)際的需要，對(duì)于流體力學(xué)問題進(jìn)行大規(guī)模數(shù)值模擬，現(xiàn)己很常見，國內(nèi)已有幾種功能較強(qiáng)的計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的商品軟件（如 FLUENT, STAR—CD, TASC flow，PHOENICS 等）在應(yīng)用，且已使用并行計(jì)算機(jī)進(jìn)行大規(guī)模數(shù)值模擬。但所得到的數(shù)值模擬結(jié)果，仍須用物理實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)其正確性。而作物理實(shí)驗(yàn)又需要投入更多的人力、財(cái)力、物力的支持，所以巧妙地構(gòu)思、設(shè)計(jì)小規(guī)模、精細(xì)的物理實(shí)驗(yàn)，以較少的花費(fèi)來撿驗(yàn)大規(guī)模數(shù)值模擬的正確性，就顯得十分重要。

　　流動(dòng)顯示方法和技術(shù)，正是我們在流體力學(xué)研究中，能達(dá)到上述目的的重要實(shí)驗(yàn)方法和技術(shù)，它不僅能提出新的觀念、新的研究模型，揭示流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，也能為流體力學(xué)計(jì)算提供可靠的流動(dòng)條件（如邊界層轉(zhuǎn)捩點(diǎn)、激波位置、渦核位置、尾跡寬度等），和對(duì)數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。

　　附錄：新千年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)懸賞的7個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)難題

　　Notices of the AMS（美國數(shù)學(xué)會(huì)（AMS）的會(huì)刊）在克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)發(fā)布7個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)難題后，曾為懸賞問題準(zhǔn)備了如下的簡介：

　　P和NP問題：一個(gè)問題稱為是P的，如果它可以通過運(yùn)行多項(xiàng)式次（即運(yùn)行時(shí)間至多是輸入量大小的多項(xiàng)式函數(shù)）的一種算法獲得解決；
一個(gè)問題稱為是NP的，如果所提出的解答，可以用多項(xiàng)式次算法來檢驗(yàn)。P等于NP嗎？

　　Riemann假設(shè)：黎曼ζ函數(shù)的每個(gè)非平凡零點(diǎn),有等于1/2的實(shí)部。

　　Poincaré猜想：任何單連通閉3維流形同胚于3維球。

　　Hodge猜想：任何霍奇類關(guān)于一個(gè)非奇異復(fù)射影代數(shù)簇，都是某些代數(shù)閉鏈類的有理線性組合。

　　Birch 及Swinnerton–Dyer猜想：對(duì)于建立在有理數(shù)域上的每一條橢圓曲線，它在1處的L函數(shù)變?yōu)榱愕碾A，等于該曲線上有理點(diǎn)的阿貝爾群的秩。

　　Navier–Stokes方程組：（在適當(dāng)?shù)倪吔缂俺跏紬l件下）對(duì)3維納維–斯托克斯方程組，證明或反證其光滑解的存在性。

　　Yang–Mills理論：證明量子楊–米爾斯場存在，并存在一個(gè)質(zhì)量間隙。

　　參考文獻(xiàn)

　　1、王振東，但見流沫生千渦 —漫話流體中的旋渦，科學(xué)，2004，56（2）：59～61

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　　5、王振東，關(guān)于流體力學(xué)方法論問題，力學(xué)與實(shí)踐，2004，26（2）：83～85