武際可：什么是分岔

　　主持人：追求進(jìn)步，學(xué)術(shù)傾聽(tīng)，世紀(jì)大講堂問(wèn)候您。在生活當(dāng)中有一個(gè)詞匯叫“分岔，我理解呢，最多說(shuō)分岔有三種人：第一種是植物學(xué)家，因?yàn)槊恳豢脴?shù)都可能有無(wú)數(shù)的分岔；
第二類就是教育家，咱們經(jīng)常說(shuō)人生的道路很長(zhǎng)，但是道路當(dāng)中有很多岔路口，我們?cè)诼房诘臅r(shí)候選擇往哪個(gè)方向走是最重要的；
第三類就是城市交通的管理者和鐵路線上的一些搬道岔的工人。

　　今天我給大家請(qǐng)來(lái)了北大力學(xué)系的力學(xué)教授，他叫武際可，請(qǐng)他談一談力學(xué)意義上的分岔。好，有請(qǐng)武教授上場(chǎng)。請(qǐng)坐。

　　我必須得實(shí)話告訴您，我是一個(gè)文科畢業(yè)生，所以認(rèn)識(shí)得科學(xué)家并不多，尤其是力學(xué)家，我只知道一位叫郭永懷，其他我誰(shuí)都不知道。

　　武際可：對(duì)，郭永懷是我們力學(xué)界的老前輩。

　　主持人：聽(tīng)說(shuō)他也在北大工作過(guò)？

　　武際可：他曾經(jīng)是我們的兼職教授。

　　主持人：那您上過(guò)他的課嗎？您是哪年進(jìn)北大的？

　　武際可：我是1954年。

　　主持人：1954年，當(dāng)時(shí)他在。

　　武際可：我聽(tīng)過(guò)他的報(bào)告。

　　主持人：您是研究力學(xué)的，一定知道郭永懷先生是怎么去世的，我覺(jué)得這個(gè)故事非常感人。

　　武際可：對(duì)。

　　主持人：能給大家講一下嗎？

　　武際可：他是到西寧完成一項(xiàng)原子彈的爆炸任務(wù)，然后回來(lái)的時(shí)候，在北京機(jī)場(chǎng)不幸飛機(jī)失事，犧牲了。

　　主持人：好像那是1969年？

　　武際可：對(duì)。

　　主持人：據(jù)說(shuō)最感人的是他和他的警衛(wèi)員在飛機(jī)失事進(jìn)行處理的時(shí)候，他們倆的身體很難分開(kāi)，因?yàn)樗麄儌z在出事的一剎那，互相用胸把這個(gè)機(jī)密文件給頂在一起，然后保住了這個(gè)所有文件都沒(méi)有消失。

　　武際可：是啊，是很感動(dòng)人的。

　　主持人：武教授，聽(tīng)說(shuō)您是研究動(dòng)力系統(tǒng)的分岔，是什么意思啊？

　　武際可：現(xiàn)在動(dòng)力系統(tǒng)本來(lái)這個(gè)概念是從力學(xué)來(lái)的，但是現(xiàn)在因?yàn)樗鼣U(kuò)展得幾乎自然界的所有的現(xiàn)象，把它精確化，都可以看作一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)。

　　主持人：動(dòng)力系統(tǒng)我還懂，動(dòng)力系統(tǒng)的分岔我就聽(tīng)不大懂了。

　　武際可：分岔要仔細(xì)地講了。

　　主持人：這是一會(huì)兒的講演內(nèi)容嗎？

　　武際可：對(duì)。

　　主持人：好，請(qǐng)武教授馬上給咱們帶來(lái)一場(chǎng)精彩的學(xué)術(shù)報(bào)告，深入淺出的學(xué)術(shù)報(bào)告，叫做“什么是分岔”。好，有請(qǐng)。

　　武際可：我今天講的是關(guān)于分岔的問(wèn)題。分岔在英文叫做Bifurcation，這個(gè)詞在中文里頭大概有六種翻譯，我看到的有六種翻譯，每個(gè)含義用詞都用得不一樣，有的叫分叉、有的叫分枝、還有的叫分歧等等。這個(gè)概念最近幾十年大概在自然科學(xué)甚至于社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等等領(lǐng)域用得很多，比如說(shuō)化學(xué)、物理、力學(xué)、數(shù)學(xué)都很多，還有氣象學(xué)等等吧，說(shuō)明它比較重要。那么，這個(gè)名詞不像剛才主持人說(shuō)的道路分岔那么具體，它是一個(gè)抽象概念，為了說(shuō)明這個(gè)概念，我們這樣來(lái)講，先從一個(gè)例子開(kāi)始，講一個(gè)例子。

這是一個(gè)圓，上頭有一個(gè)光滑的環(huán)，對(duì)吧？我把它這個(gè)大圓垂直放的時(shí)候，那么這個(gè)小環(huán)總是在下頭平衡，大家看清楚了，我怎么放它都是平衡的，最后滑在下頭，現(xiàn)在我讓這個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)起來(lái)，對(duì)吧，這樣轉(zhuǎn)，我給這個(gè)圓環(huán)這樣一個(gè)角速度，轉(zhuǎn)起來(lái)以后，如果我這個(gè)角速度很小，大家看了，這個(gè)小環(huán)呢，還是呆在這個(gè)底下，這個(gè)位置總是一個(gè)平衡位置，等我轉(zhuǎn)的這個(gè)角速度大到某一定的程度，大家注意看，現(xiàn)在這個(gè)環(huán)就跑在另外一個(gè)地方平衡，如果我們?nèi)∫粋�(gè)角度表示這個(gè)小環(huán)的位置的話，那么我們就可以列出一個(gè)平衡方程來(lái)，這個(gè)很簡(jiǎn)單，這個(gè)小環(huán)受三個(gè)力，一個(gè)是離心力、一個(gè)是重力、還有一個(gè)大環(huán)給它的約束反力，這兩個(gè)力的正切應(yīng)該就等于這個(gè)反力，所以那個(gè)方程很容易寫(xiě)出來(lái)。

寫(xiě)出這個(gè)方程，帶星號(hào)的那個(gè)就是這個(gè)平衡方程，兩個(gè)慣性力和重力之比就等于那個(gè)約束反力，約束反力的角度，這個(gè)方程把它上頭的質(zhì)量和下頭的質(zhì)量消掉以后就得到下頭，一分解因式正好是兩個(gè)，一個(gè)是sinθ；
另外一個(gè)就是括弧里頭這個(gè)，這個(gè)方程有兩個(gè)解，一個(gè)解就是上頭的θ等于零，就是永遠(yuǎn)這個(gè)角度等于零，放在這個(gè)位置是一個(gè)平衡點(diǎn)，還有一個(gè)解呢，是下頭那個(gè)表示的這個(gè)解，下頭那個(gè)式子表示呢，就是我這個(gè)角速度使得括弧里頭的那一項(xiàng)變成一的時(shí)候，θ就開(kāi)始，從零開(kāi)始要往下飛了，在一定的角速度就離開(kāi)原來(lái)的平衡點(diǎn)，然后跑到另外一個(gè)平衡點(diǎn)了。我們看到這個(gè)問(wèn)題的解呢，實(shí)際上是兩個(gè)解，兩支，兩支都隨著Ω變，一支就是θ永遠(yuǎn)等于零，就是這一支，另外一支是那一支，這邊是對(duì)稱的，另外一邊我沒(méi)有畫(huà)，這兩支的焦點(diǎn)T就是分岔點(diǎn)，我們就說(shuō)的分岔點(diǎn)。這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)生活當(dāng)中我們應(yīng)該看到的最常見(jiàn)的一個(gè)分岔問(wèn)題， 那么我們就問(wèn)，一個(gè)分岔問(wèn)題需要一些什么條件呢？我把它歸結(jié)有需要三個(gè)條件：第一個(gè)條件，要有一個(gè)參數(shù)系統(tǒng)描述這個(gè)客觀系統(tǒng)的狀態(tài)，我們這個(gè)例子里頭就是這個(gè)角度，這個(gè)角度不同，平衡的位置就不同；
第二個(gè)，要有一個(gè)描述這個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的參數(shù)，我剛才說(shuō)的這個(gè)Ω，這個(gè)角速度，要有這么一個(gè)參數(shù)；
第三個(gè)，要有一個(gè)平衡方程，要有控制整個(gè)系統(tǒng)發(fā)展過(guò)程的一個(gè)平衡方程。

　　剛才我們看到的帶星號(hào)的那個(gè)方程就是這個(gè)方程。那么我們一條一條來(lái)看。第一條這個(gè)參數(shù)呢，我這個(gè)問(wèn)題、這個(gè)參數(shù)很簡(jiǎn)單，就是一個(gè)θ，就是這個(gè)角度。一般的問(wèn)題里頭，這個(gè)參數(shù)可以多個(gè)，比如說(shuō)我下頭還有一個(gè)環(huán)呢？就可能有兩個(gè)θ，兩個(gè)角度。這個(gè)不僅如此，我要描述一架飛機(jī)的話，可能是很多的角度，甚至于好多個(gè)函數(shù)，所以描述狀態(tài)不僅僅是一組數(shù)、若干個(gè)數(shù)，還可能是要求若干個(gè)函數(shù)，所以一旦這個(gè)描述的參數(shù)定了以后呢，再?gòu)?fù)雜的系統(tǒng)我們也應(yīng)該可以描述，所以我們說(shuō)，只要有了足夠復(fù)雜的系統(tǒng)，我們從天上的白云、海里的波浪、化學(xué)反應(yīng)罐里頭的反應(yīng)過(guò)程還是股票市場(chǎng)上的起伏，這個(gè)都可以描述。

第二，要有一個(gè)表征過(guò)程的參量，剛才說(shuō)的是Ω，這個(gè)角度，角速度。這個(gè)長(zhǎng)度、速度、加速度，還有溫度、壓力都可以作為這種參數(shù)。

第三，要有一組方程，剛才我們說(shuō)的這個(gè)方程，相對(duì)簡(jiǎn)單，只有一個(gè)方程就夠了，在實(shí)際問(wèn)題要有很多個(gè)方程，有的方程連立起來(lái)可能要上千上萬(wàn)，甚至于有的要遇到微分方程，就是函數(shù)滿足的方程，但是有一條，這些方程必須是非線性的，也就是說(shuō)光由一次項(xiàng)組成的這些方程是沒(méi)有分岔的，必須要有非線性的項(xiàng)，所以我們經(jīng)常說(shuō)，分岔也是一個(gè)實(shí)質(zhì)的非線性問(wèn)題。

　　我們注意到，也不是所有的非線性問(wèn)題都有分岔，比如說(shuō)我們畫(huà)一個(gè)彎曲的線，這條線是非線性的，直線才是線性的，但是它沒(méi)有分岔，必須有兩支交叉在一起的才有分岔，所以這樣一個(gè)情況呢，但是，我剛才說(shuō)彎的沒(méi)有分岔的這個(gè)雖然是非線性，它任何一小段可以拿直線來(lái)代替，拿線性的來(lái)代替，分岔不行，在分岔點(diǎn)附近是不可能把它拿直線來(lái)代替的，所以我們說(shuō)，分岔是一個(gè)實(shí)質(zhì)的非線性問(wèn)題，它根本在無(wú)限小的范圍內(nèi)也不可能把它線性化。

所以，總結(jié)前頭我們說(shuō)的這段話呢，就是說(shuō)第一，分岔是一類問(wèn)題當(dāng)中有多個(gè)性質(zhì)上完全不同的解，交叉在一起，這個(gè)交叉點(diǎn)就是所謂的分岔點(diǎn)；
第二，分岔一般伴隨有事物性質(zhì)上的突變，一種狀態(tài)變?yōu)樾再|(zhì)上差別很大的另外一種狀態(tài)；
第三，分岔是實(shí)質(zhì)的非線性問(wèn)題。我們來(lái)看，分岔實(shí)際上是一種自然界和社會(huì)上的普遍的現(xiàn)象。

最常見(jiàn)的，我們看到有這么兩類。第一類，所謂平衡解分岔或者是靜分岔，我們來(lái)舉一些例子，最常見(jiàn)的一類例子，就是我拿這根尺子來(lái)作為一個(gè)柱子，我拿手壓它，我加了一個(gè)力，現(xiàn)在我已經(jīng)加了力了，這個(gè)柱子還是直的，我加到某一個(gè)力的時(shí)候，這個(gè)柱子不僅由原來(lái)直的這個(gè)平衡位置出來(lái)另外一個(gè)平衡位置，這個(gè)力我們叫臨界壓力，達(dá)到這個(gè)力的時(shí)候，這個(gè)彎曲迅速的加大。我們實(shí)際的相當(dāng)多的結(jié)構(gòu)，都是有這樣的受壓的部件，那么這些部件，任何一個(gè)部件如果超過(guò)了我剛才說(shuō)的臨界壓力，這個(gè)結(jié)構(gòu)就有可能整個(gè)的垮掉，所以這就是從直立到另外一種狀態(tài)的一個(gè)分岔，兩個(gè)完全不同的分岔。

下頭我舉兩個(gè)例子，最近就拿去年的，我們國(guó)內(nèi)發(fā)生的兩個(gè)事故：一個(gè)事故就是在湖南耒陽(yáng)電廠，有一個(gè)72米×120米這樣一個(gè)堆煤的倉(cāng)，這個(gè)倉(cāng)用了五年以后突然垮掉，原因就是因?yàn)樗�的�?gòu)建在雨水之下然后腐蝕，腐蝕到超過(guò)它的臨界載荷，然后垮掉了。第二個(gè)例子是去年11月28日，在深圳正在修一個(gè)鹽壩高速公路起點(diǎn)高架橋，在11月28日晚上9時(shí)左右突然坍塌，原因就是它支腳手架的一根支柱超過(guò)它的臨界載荷，設(shè)計(jì)人員不小心，造成69名工人隨墻面一起下去，大概重傷10人，23人輕傷。這是平衡解的兩個(gè)例子，平衡解的分岔我們還有，在物理當(dāng)中，不僅力學(xué)當(dāng)中，在物理當(dāng)中，從上一世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)物質(zhì)是由氣、固、液三態(tài)所組成的，比如說(shuō)水從液態(tài)到氣態(tài)，攝氏100度，100度就是一個(gè)臨界溫度，那么從一個(gè)平衡態(tài)就轉(zhuǎn)到另外一個(gè)平衡態(tài)，這個(gè)交界的點(diǎn)就是一個(gè)分岔點(diǎn)，在磁學(xué)、電學(xué)里頭都有這樣的平衡解的分岔，因此不只是力學(xué)，物理、化學(xué)都有。

　　下頭我們來(lái)討論一下，所謂Hopf的例子，人們常熟悉的拿口琴，我們吹口琴的時(shí)候，我拿一個(gè)音來(lái)看，在這個(gè)洞里頭，如果吹得口風(fēng)很小呢，你聽(tīng)不到聲音，這個(gè)簧片不振動(dòng)，達(dá)到一個(gè)臨界的風(fēng)速的時(shí)候，這個(gè)簧片就開(kāi)始振蕩，發(fā)出周期性的運(yùn)動(dòng)，發(fā)聲，這個(gè)就是一個(gè)典型的Hopf分岔。那么，我們通�？吹降臉�(lè)器，風(fēng)琴、嗩吶、單簧管、雙簧管、號(hào)、笛等等都是利用這個(gè)Hopf 分岔這個(gè)原理來(lái)制作的，都是從不發(fā)聲到發(fā)聲，利用它發(fā)聲的這個(gè)段，這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，發(fā)聲的就是一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)的一個(gè)狀態(tài)，剛才是用風(fēng)來(lái)比喻，進(jìn)一步講，激發(fā)振動(dòng)的如果不是風(fēng)，而是摩擦力，那么我們的摩擦力或者水力也會(huì)發(fā)現(xiàn)，比如說(shuō)我們拉小提琴的弓和弦摩擦就是一個(gè)典型的Hopf分岔，如果我這個(gè)弓上頭沒(méi)有，松香很少，摩擦力很小，那么你就發(fā)現(xiàn)這個(gè)弓就可以滑過(guò)來(lái)，根本不發(fā)聲，那么擦了一些松香，松香是增加摩擦力的，增加一點(diǎn)摩擦力，摩擦力作為我們控制系統(tǒng)的參數(shù)，到一定的程度就發(fā)聲。當(dāng)然了，Hopf分岔并不只是可以用來(lái)制作樂(lè)器，帶來(lái)快樂(lè)，也會(huì)帶來(lái)煩惱和災(zāi)難，幾乎所有的噪音，比如樹(shù)葉子被風(fēng)吹得沙沙聲、機(jī)器的隆隆聲、摩擦噪音，我們通常老太太刮鍋用的那種刺耳的那個(gè)聲音就是摩擦噪音，水管子流水的時(shí)候，那個(gè)嗡嗡聲都是和Hopf分岔有關(guān)的。那么，在二十世紀(jì)三四十年代，航空當(dāng)中有一種可怕的空難，叫做顫振，飛機(jī)飛到某一個(gè)臨界速度的時(shí)候，飛機(jī)翅膀就會(huì)象剛才說(shuō)的口琴的簧片一樣的振起來(lái)，那個(gè)振動(dòng)有的時(shí)候是發(fā)散的，幾秒鐘以內(nèi)飛機(jī)翅膀就可以振掉，然后造成機(jī)毀人亡，這樣的空難出了很多起，后來(lái)由于人們研究，逐漸的控制了，目前的飛機(jī)很少有這種事故。

　　在1940年，美國(guó)西北部就是叫華盛頓州建成了一座吊橋，長(zhǎng)853.4米的Tacoma（塔科姆）橋，在Tacoma（塔科姆）那個(gè)海灣上的，建成以后不久，大概四個(gè)月，由于同年11月7日的一場(chǎng)不大的風(fēng)，每秒19米，這個(gè)風(fēng)很小，大概八級(jí)風(fēng)吧，引起了振幅接近九米的顫振，正負(fù)九米相當(dāng)于三層樓高，普通住房的三層樓高，在這樣大振幅的振蕩之下，不一會(huì)兒這個(gè)橋就塌毀了，這就是當(dāng)時(shí)實(shí)際的振蕩，最后倒塌了。這是Hopf分岔不僅會(huì)產(chǎn)生樂(lè)器、噪音，飛機(jī)的顫振、橋的顫振。還有一種，大概在生態(tài)上頭研究當(dāng)中有一種模型叫做“捕食者模型”，假如有兩種生物共在一個(gè)池子里頭，比方說(shuō)我們說(shuō)是大魚(yú)和小魚(yú)，大魚(yú)吃小魚(yú)，那么大魚(yú)多了的時(shí)候呢，小魚(yú)就很快的被吃掉了，小魚(yú)就沒(méi)有了，沒(méi)有了呢，大魚(yú)就餓死了，大魚(yú)就減少了，大魚(yú)減少到一定程度呢，小魚(yú)失掉了它的天敵，于是小魚(yú)就拼命繁殖，小魚(yú)繁殖小魚(yú)又增加，它并不經(jīng)常是大魚(yú)、小魚(yú)處于一個(gè)平衡點(diǎn)，而是經(jīng)常是處于一種大魚(yú)、小魚(yú)此消彼漲的這樣一個(gè)振蕩狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)也是一個(gè)典型的分岔，Hopf分岔，1918年意大利數(shù)學(xué)家把這個(gè)最早研究了兩種生物的捕食者模型，當(dāng)然了，現(xiàn)在生態(tài)學(xué)發(fā)展了，研究整個(gè)的生物鏈，一個(gè)生物鏈的一個(gè)彼此消漲的情況。

　　同樣，股票市場(chǎng)的漲落、經(jīng)濟(jì)危機(jī)的周期性的發(fā)生、沙漠當(dāng)中沙丘的周期性的推移、心臟的周期性的跳動(dòng)等等，都可以看作是一種分岔現(xiàn)象，也是一種Hopf分岔。1900年法國(guó)人做了一個(gè)流體實(shí)驗(yàn)，在一塊金屬板上放了一個(gè)液體，下頭加熱這塊金屬板，開(kāi)始的時(shí)候，整個(gè)的液體不動(dòng)，加熱到一定的程度以后，這個(gè)液體就做一個(gè)小包圈、一個(gè)小包圈螺旋式的運(yùn)動(dòng)，也是一種周期運(yùn)動(dòng)，但是除了時(shí)間上的周期以外，還有空間上的周期，這個(gè)在氣象上很重要，我們平�？吹教�陽(yáng)曬得，就像這樣的天氣，曬到下午地面熱的時(shí)候，加熱這個(gè)空氣，空氣就產(chǎn)生局部的環(huán)流，單地的局部的環(huán)流就產(chǎn)生局部的風(fēng)，你騎車進(jìn)城的時(shí)候你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，一會(huì)兒頂風(fēng)、一會(huì)兒順風(fēng)，這樣的正好就是這種現(xiàn)象的一個(gè)表示，這也是一種典型的Hopf分岔，不過(guò)呢，它是在流體，(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　實(shí)際上這是在一個(gè)連續(xù)體當(dāng)中的一個(gè)Hopf分岔。

　　我們講了這些現(xiàn)象，我可以要舉多少例子幾乎就可以舉多少例子，說(shuō)明分岔是自然界和社會(huì)中的相當(dāng)常見(jiàn)的普遍現(xiàn)象；
第二，在不同領(lǐng)域中，對(duì)分岔有不同的名稱，在我們力學(xué)當(dāng)中，比如叫臨界載荷，我剛才說(shuō)了；
在物理當(dāng)中叫臨界溫度、臨界參數(shù)，有的叫轉(zhuǎn)捩點(diǎn)、有的叫閾值，有的叫什么激勵(lì)參數(shù)、什么危險(xiǎn)限等等，這些都是不一樣的。最后講了這些例子和這個(gè)情況以后呢，我們想總結(jié)一下，現(xiàn)在分岔研究的意義到底是在于什么呢？

　　第一點(diǎn)，我認(rèn)為分岔的研究溝通了不同領(lǐng)域，既然剛才說(shuō)了，從樂(lè)器到噪聲到飛機(jī)一直到股票都可以有分岔，那么于是很多學(xué)科共同來(lái)探討分岔的共同規(guī)律，現(xiàn)在有的人就特別是形成一門(mén)叫做“非線性科學(xué)”，非線性科學(xué)的相當(dāng)一部分工作就是要找分岔的規(guī)律。

　　第二就是對(duì)具體的某一個(gè)學(xué)科來(lái)說(shuō)，研究具體的分岔，準(zhǔn)確的計(jì)算使我們把握這種問(wèn)題的變化規(guī)律或者控制這種現(xiàn)象非常重要。

　　第三點(diǎn)，分岔在哲學(xué)上是對(duì)于確定論的一個(gè)否定，我們知道，現(xiàn)在分岔再分岔可以產(chǎn)生混沌，混沌是會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性，它對(duì)以前的這種確定了的觀點(diǎn)是一個(gè)否定。目前對(duì)于分岔的研究的情況，一方面來(lái)自各個(gè)具體的部門(mén)來(lái)研究這個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中的特殊問(wèn)題的分岔；
另一方面把分岔作為各個(gè)領(lǐng)域共同的問(wèn)題來(lái)研究統(tǒng)一的規(guī)律；
第三，由于分岔要遇到非常復(fù)雜的非線性問(wèn)題，因此要用計(jì)算機(jī)，所以用計(jì)算非線性問(wèn)題的分岔，實(shí)際上是一個(gè)非常重要的研究發(fā)現(xiàn)。

　　最后我想講一下，講了這么多的結(jié)論，第一，分岔是系統(tǒng)兩種性質(zhì)上不同狀態(tài)的轉(zhuǎn)變點(diǎn)；
第二，掌握系統(tǒng)的分岔點(diǎn)對(duì)把握系統(tǒng)的性質(zhì)和行為非常重要，可以體會(huì)；
第三，分岔問(wèn)題是實(shí)質(zhì)的非線性問(wèn)題；
第四，分岔是非常普遍的現(xiàn)象；
第五，常見(jiàn)的分岔是靜分岔和Hopf分岔兩類，當(dāng)然了，除了這兩類之外還有更為復(fù)雜的分岔，有興趣的人可以進(jìn)一步深入研究；
最后一個(gè)，分岔的研究目前是所有可以精確化學(xué)科的共同興趣。凡是能夠精確化的學(xué)科幾乎都對(duì)分岔有興趣。

　　好，謝謝大家。

　　主持人：謝謝武教授，下面呢，咱們先看一看來(lái)自鳳凰網(wǎng)站的網(wǎng)友的提問(wèn)，然后咱們?cè)侔迅�教授直接交流的機(jī)會(huì)留給現(xiàn)場(chǎng)觀眾。好，先看一下網(wǎng)友的提問(wèn)。

　　這位網(wǎng)友是江蘇南通的趙愛(ài)蓮，他說(shuō)您在講演中說(shuō)“力學(xué)上的分岔理論是對(duì)宿命論的否定”，您剛才說(shuō)過(guò)，“因?yàn)楸姸嗟姆植頃?huì)導(dǎo)致事物命運(yùn)的不同結(jié)果，但是我想知道，這會(huì)不會(huì)又導(dǎo)致了不可知論呢？在分岔無(wú)限的狀況下，人或事物還怎么能主動(dòng)的把握自己的命運(yùn)呢？難道我們每一個(gè)人除了聘請(qǐng)一位律師保護(hù)的情況下，還要額外聘請(qǐng)一位專門(mén)研究分岔理論的，如您一樣的力學(xué)家做顧問(wèn)不成？”

　　武際可：這個(gè)問(wèn)題牽涉到社會(huì)問(wèn)題，社會(huì)問(wèn)題的分岔大概只能這樣來(lái)理解了，因?yàn)榉植韱?wèn)題的困難是來(lái)自兩個(gè)方面：一個(gè)是來(lái)自對(duì)這個(gè)問(wèn)題的精確化的模型，模型沒(méi)有的話，分岔沒(méi)辦法討論；
另外一個(gè)困難來(lái)自，有了模型以后再討論它的分岔，我們社會(huì)問(wèn)題精確化的模型尚且沒(méi)有，所以因此，有相當(dāng)多的社會(huì)問(wèn)題，這個(gè)精確化的模型分岔問(wèn)題談不到。

　　主持人：那就是在這樣的情況下呢，你像法律吧，很多律師建了很多律師樓，為大家解決問(wèn)題，您的意思是社會(huì)問(wèn)題的分岔問(wèn)題沒(méi)有解決，咱們是不是建了好多力學(xué)樓？

　　武際可：這個(gè)力學(xué)樓是目前來(lái)說(shuō)主要的去解決自然科學(xué)當(dāng)中的問(wèn)題。

　　主持人：社會(huì)科學(xué)的問(wèn)題還是沒(méi)有人解決。

　　武際可：還是請(qǐng)律師去解決。

　　主持人：那您是不是同意這位網(wǎng)友對(duì)您的置疑？他說(shuō)是，分岔理論是對(duì)宿命論的否定，但卻要導(dǎo)致了不可知論？

　　武際可：這個(gè)是這樣的，在自然科學(xué)當(dāng)中現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)，對(duì)于分岔再分岔在某些領(lǐng)域當(dāng)中是不可以預(yù)先，從一個(gè)初值預(yù)先知道以后的所有的發(fā)展，而這個(gè)觀點(diǎn)是上一世紀(jì)法國(guó)哲學(xué)家拉普拉斯總結(jié)的，我只要知道當(dāng)前的初值，以后任何時(shí)刻的發(fā)展我就可以一目了然，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)，自然科學(xué)發(fā)現(xiàn)做不到這一點(diǎn)。例如，我們的氣象預(yù)報(bào)就做不到，長(zhǎng)期預(yù)報(bào)做不到、短期還有可能。

　　主持人：好，謝謝您。另外我想問(wèn)您，您是不是會(huì)寫(xiě)詩(shī)、愛(ài)寫(xiě)詩(shī)、喜歡讀詩(shī)？

　　武際可：不會(huì)。

　　主持人：這位網(wǎng)友他叫“菩提樹(shù)下沼澤多”，他呢，也問(wèn)您同樣的問(wèn)題，說(shuō)“您會(huì)寫(xiě)詩(shī)嗎？這樣問(wèn)是因?yàn)槁?tīng)說(shuō)您1998年和王振東合寫(xiě)了一部著作，名字叫“力學(xué)詩(shī)趣”，詩(shī)的趣味，在我們南開(kāi)大學(xué)的出版社出版的，很抱歉我還沒(méi)有看過(guò)這本書(shū)，但聽(tīng)到書(shū)名很感興趣，力學(xué)竟能跟詩(shī)詞趣味相聯(lián)，很有創(chuàng)意，能跟我們簡(jiǎn)單介紹一下這本書(shū)的內(nèi)容，并告訴我們這本書(shū)的主旨是什么嗎？”

　　武際可：這本書(shū)我可以大致簡(jiǎn)單說(shuō)一下，1987年我出任《力學(xué)與實(shí)踐》的主編，當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)很多大學(xué)生，包括我們力學(xué)系的大學(xué)生看不懂這本雜志，這本雜志本來(lái)是一個(gè)中級(jí)的刊物，大學(xué)生應(yīng)該可以看得懂，所以當(dāng)時(shí)我們，我和王振東正好我們兩個(gè)是編委，就覺(jué)得應(yīng)該改變一下這個(gè)雜志的文風(fēng)，我們不能祈求其他的人，我們自己就答應(yīng)，我們兩個(gè)你一篇、我一篇，來(lái)寫(xiě)一點(diǎn)這種小雜文。

　　主持人：哦，那是不是您寫(xiě)的是力學(xué)，王先生寫(xiě)的是…

　　武際可：我寫(xiě)的，當(dāng)時(shí)是由兩部分組成，一個(gè)叫做詩(shī)話，力學(xué)詩(shī)話；
一個(gè)叫做力學(xué)趣談。我寫(xiě)的是趣談的這部分，所以后來(lái)南開(kāi)大學(xué)結(jié)集的時(shí)候就把它叫做詩(shī)趣，詩(shī)話和趣談各取一個(gè)字。

　　主持人：這樣的，害得我們以為你們兩位都喜歡詩(shī)呢。

　　提問(wèn)：武教授您好，請(qǐng)您能不能具體的談一下您的這個(gè)分岔問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的和在股票市場(chǎng)方面的應(yīng)用？

　　武際可：我剛才說(shuō)了，首先是模型，比如說(shuō)股票市場(chǎng)我不懂，但是我知道搞力學(xué)的出去的有很多學(xué)生去投到股票的預(yù)測(cè)的問(wèn)題了，每一個(gè)預(yù)測(cè)他們的模型都保密，幾乎每一個(gè)人搞，都有每一個(gè)人的模型，都說(shuō)你按照我的軟件，而且做了軟件，你按照我的軟件買股票或者賣股票都可以掙錢(qián)，那么，因此，他們的模型都不一樣，而且一般的都保密，所以他們的分岔到底他們成熟到什么程度，能不能在這個(gè)基礎(chǔ)上來(lái)討論分岔，我不得而知，如果確實(shí)是成熟的一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)的非線性模型，那么分岔我想應(yīng)該可以進(jìn)一步研究。

　　主持人：反正是照著那些理論去炒股的一般都要失敗，我自己就是個(gè)例子，買了三支股全賠了。

　　觀 眾：據(jù)我所知武教授，您近年來(lái)一直從事科普，尤其是力學(xué)科普這方面的工作，我請(qǐng)問(wèn)您，在這么多年的工作中，您覺(jué)得做這些工作遇到的最大的阻力或者困難是什么？您覺(jué)得力學(xué)科普，您所從事的這個(gè)工作將來(lái)的前景會(huì)是怎樣？謝謝。

　　武際可：我很高興回答這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)榭破帐俏业臉I(yè)余愛(ài)好，起因就是我當(dāng)《力學(xué)與實(shí)踐》主編那個(gè)時(shí)候開(kāi)始的，我覺(jué)得科普是什么呢？是非常有意義的一件事情，王振東有一句話就是“我們?nèi)祟惒皇亲非罂茖W(xué)嗎，科學(xué)最真正的力量是在科普”，如果廣大的人民群眾不掌握科普，或者科學(xué)的這些精神的話，這個(gè)科學(xué)的力量就沒(méi)有發(fā)揮出來(lái)。所以特別現(xiàn)在，我們跟法輪功爭(zhēng)奪群眾的話，我想科普戰(zhàn)勝愚昧還是最主要的工具。

　　觀 眾：就是說(shuō)您對(duì)您從事這方面的工作有什么困難沒(méi)有？

　　武際可：我的最大的困難就是自己的知識(shí)不足，所以需要學(xué)習(xí)。

　　主持人：很謙虛。

　　武際可：我體會(huì)寫(xiě)一篇好的科普文章比寫(xiě)一篇嚴(yán)肅的科學(xué)論文可能還要難一些，比如說(shuō)我有一篇文章就是《力學(xué)詩(shī)趣》里頭寫(xiě)倒啤酒的學(xué)問(wèn)，這一篇文章----我不是搞流體的，所以我必須學(xué)很多流體的東西，在座的李志堅(jiān)同志知道，那么，我大概需要查很多資料，這篇文章可能用了我大概好幾個(gè)月的時(shí)間，所以我的體會(huì)一篇我自己滿意的，至少一個(gè)好的科普，哪怕是一篇文章，它比嚴(yán)肅的一篇科學(xué)論文一點(diǎn)也不省力。

　　我最近寫(xiě)一篇文章，背了二十世紀(jì)三十年代學(xué)術(shù)界有一首歌謠叫做“深入淺出是通俗，淺入淺出是庸俗，深入深出還有可，淺入深出最可惡”，我們現(xiàn)在有一種文章是把非常淺薄的東西寫(xiě)得艱深難懂，這種我想我自己以前有一些文章也是屬于這一類，雖然夠不上最可惡，但是也面目可憎，但是我認(rèn)為，用通俗和科普、和傳播的這種思想來(lái)要求我們?nèi)魏蔚膶?xiě)作，這是我們?nèi)�社�?huì)應(yīng)該努力的一個(gè)方向。

　　主持人：您說(shuō)的那種寫(xiě)作方法不是在批評(píng)北大哲學(xué)系的哲學(xué)教授們吧？林語(yǔ)堂說(shuō)過(guò)，哲學(xué)的意義就是在把簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化，讓大家看不懂。

　　武際可：但是也有一個(gè)，它這個(gè)抽象是向真理更接近，這也是正確的抽象是更接近實(shí)際。

　　觀 眾：武老師您好，我也是數(shù)學(xué)系的，而且我聽(tīng)您這次來(lái)講，我感到特別親切，因?yàn)槲覍��?lái)做的方向可能就是動(dòng)力系統(tǒng)，然后我在數(shù)學(xué)方面也接觸到分岔，最早是從純數(shù)學(xué)的希爾伯特十六問(wèn)題開(kāi)始的，然后我就開(kāi)始發(fā)現(xiàn)分岔問(wèn)題，很多領(lǐng)域的科學(xué)家都在研究，包括您，作為一個(gè)力學(xué)家也在研究這個(gè)分岔。那我想問(wèn)問(wèn)您，您感覺(jué)就是在分岔的研究中，數(shù)學(xué)家和其他應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域，比如說(shuō)力學(xué)、什么氣象學(xué)等等其他方面的科學(xué)家應(yīng)該扮演什么樣的不同的角色，互相應(yīng)該怎么樣的合作、怎么樣的促進(jìn)，比如說(shuō)我作為一個(gè)晚輩，您希望，如果我將來(lái)投入這方面的事業(yè)，我應(yīng)該為這個(gè)方面的研究做一些什么樣的工作，而作為一個(gè)應(yīng)用科學(xué)家，您又能在哪些方面對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展給予您的指導(dǎo)？

　　武際可：這個(gè)很有意思，我認(rèn)為數(shù)學(xué)和力學(xué)，咱們就講咱們兩家吧，數(shù)學(xué)和力學(xué)應(yīng)該重新合作起來(lái)，原來(lái)是一個(gè)系，分開(kāi)可能有它的失比得多，我的結(jié)論是這樣的。數(shù)學(xué)家從歷史上來(lái)看，都應(yīng)該是一個(gè)力學(xué)家，力學(xué)家也都應(yīng)該是一個(gè)數(shù)學(xué)家，我自己現(xiàn)在感覺(jué)到我的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就不夠，那么，我們國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)家們、力學(xué)素養(yǎng)又太欠缺了，因?yàn)椴欢�得很多力學(xué)的話，數(shù)學(xué)模型大概走不遠(yuǎn)，這是我的看法，我就希望你既是一位數(shù)學(xué)家，也是一位力學(xué)家。

　　主持人：好，謝謝，咱們?cè)倏催@位網(wǎng)友，他叫“一心一意對(duì)老婆”，他呢，提的好像也是跟科普有關(guān)的一個(gè)問(wèn)題，他說(shuō)“我聽(tīng)說(shuō)《時(shí)間簡(jiǎn)史》這本巨著在國(guó)際上的發(fā)行量是一千萬(wàn)冊(cè)，但在占世界總?cè)丝谖宸种�一的中�?guó)卻只印了二十萬(wàn)冊(cè)”，這二十萬(wàn)冊(cè)在中國(guó)已經(jīng)算發(fā)行量非常非常大了。

　　武際可：非常大。

　　主持人：但他不滿意啊，他說(shuō)一個(gè)二十萬(wàn)對(duì)一千萬(wàn)的對(duì)比，而且我們的人口是世界的五分之一，“這說(shuō)明中國(guó)人不太喜歡科學(xué)，對(duì)此您感到悲觀嗎？

　　武際可：這個(gè)網(wǎng)友的感覺(jué)我是有的，而且我大概在10年以前就有這個(gè)感覺(jué)，就是有一本俄羅斯出的一本科普小冊(cè)子發(fā)行量是100萬(wàn)冊(cè)，翻譯成我們國(guó)內(nèi)的中文的時(shí)候，發(fā)行量是4000冊(cè)，我就很長(zhǎng)時(shí)間思索這個(gè)事情，是中國(guó)人不喜歡科普讀物嗎？不是，因?yàn)槲倚〉臅r(shí)候很喜歡這些讀物，以心比心，我覺(jué)得現(xiàn)在的青少年也應(yīng)該喜歡。后來(lái)，我從我自己的孩子身上發(fā)現(xiàn)，他們?cè)诟咧械臅r(shí)候是最適合于讀科普著作的時(shí)候，被升學(xué)壓得喘不過(guò)氣來(lái)，升學(xué)、做題一遍一遍的復(fù)習(xí)考試，奪去了他們看課外書(shū)的可愛(ài)的這種（光陰）。

　　我從我自己的孩子體會(huì)，這可能要改革這個(gè)東西，不只是我們努力寫(xiě)科普的問(wèn)題，還牽扯到我們的教育體制的改革，現(xiàn)在我們教育部已經(jīng)提倡什么素質(zhì)教育，我想經(jīng)過(guò)一段努力會(huì)有效果的。

　　主持人：最近的流行語(yǔ)叫“減負(fù)”。

　　武際可：減輕負(fù)擔(dān)。

　　主持人：而且他們往前套歷史，說(shuō)毛主席在1963年就專門(mén)寫(xiě)了一封信批示要減負(fù)。由于時(shí)間所限，咱們?cè)儆袃蓚�(gè)提問(wèn)的機(jī)會(huì)好嗎？

　　觀 眾：武教授，問(wèn)兩個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題就是北大的經(jīng)濟(jì)研究中心的陳平教授剛剛寫(xiě)了一本有關(guān)文明分岔的一本書(shū)，也就是說(shuō)把分岔的理論引入了世界文明史的研究，那您認(rèn)為，分岔的理論是不是可以無(wú)限制的引入到各個(gè)學(xué)科的研究領(lǐng)域去，也就是說(shuō)哪些學(xué)科引進(jìn)這個(gè)分岔理論更有實(shí)際意義，這是第一個(gè)問(wèn)題；
第二個(gè)問(wèn)題，就是我覺(jué)得分岔理論更多的可能是一種思想和方法論上的問(wèn)題，您認(rèn)為分岔理論對(duì)我們這個(gè)研究學(xué)科或者研究現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的時(shí)候，一種核心的這種思想的精髓是什么？

　　武際可：歷史學(xué)家也說(shuō)分岔，但是我想我們兩家理解的分岔可能意義上還是有很大的不同的，我們自然科學(xué)說(shuō)的分岔，那個(gè)分岔點(diǎn)我可以精確的把它算出來(lái)，我可以準(zhǔn)確地預(yù)言水在100度開(kāi)，或者在某個(gè)氣壓之下是99度開(kāi)，準(zhǔn)確的計(jì)算出來(lái)，歷史學(xué)家的分岔，因?yàn)樗�畢竟不是一個(gè)精密科學(xué)，所以在這個(gè)地方呢，是不是大家的含義不盡相同，我想不妨大家都用，就象現(xiàn)在大家都用系統(tǒng)工程一樣，政治學(xué)家也用、教育學(xué)家也用、工程師也用，含義不盡相同。

　　主持人：不過(guò)您可能沒(méi)聽(tīng)清楚這位同學(xué)說(shuō)的是中國(guó)經(jīng)濟(jì)研究中心的陳平教授，他是一個(gè)學(xué)物理的，又在研究經(jīng)濟(jì)。我們管它叫“物理經(jīng)濟(jì)”。

　　武際可：我認(rèn)為經(jīng)濟(jì)上用分岔，實(shí)際上大概已經(jīng)在用了，特別計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家有很多非常

　　好的經(jīng)濟(jì)模型，實(shí)際上他們都在用，經(jīng)濟(jì)危機(jī)的發(fā)生實(shí)際上是一種分岔現(xiàn)象。你比如他剛才說(shuō)歷史學(xué)家說(shuō)文明的分岔，東方和西方是不一樣的。但是在社會(huì)科學(xué)或者社會(huì)學(xué)等等領(lǐng)域當(dāng)中，(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　最大的問(wèn)題就是你那個(gè)精確化的模型提得好不好，如果好，那么它就會(huì)有效，你根本本身就模糊的，這個(gè)事情效果就很差，我想大概經(jīng)濟(jì)學(xué)因?yàn)橛泻芏嗪芫�確的、很好的模型，關(guān)于市場(chǎng)機(jī)制，他們幾位好多得諾貝爾獎(jiǎng)金的經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，最近若干年幾乎都是數(shù)學(xué)家，都是數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上里頭包含有分岔的現(xiàn)象�，F(xiàn)在純粹的就是學(xué)經(jīng)濟(jì)的，而不是現(xiàn)在得諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)的好像很少，最近幾年基本上都是數(shù)學(xué)，據(jù)我了解，所以計(jì)量經(jīng)濟(jì)這個(gè)領(lǐng)域里頭，證明確實(shí)是有效的，那么別的方面到底有沒(méi)有效呢？那就要看努力了，有的人，我們系有一位老師就寫(xiě)了一篇論文，研究流行色的分岔問(wèn)題，這個(gè)穿衣服流行色他要做社會(huì)統(tǒng)計(jì)，但是他沒(méi)有工夫做很多的樣本統(tǒng)計(jì)，所以他只能是紙上談?wù)劚��?/p>

　　觀 眾：武老師您好，我想再問(wèn)一個(gè)，就是剛才您說(shuō)過(guò)，聽(tīng)您講分岔是在自然界和社會(huì)中是普遍存在的是吧？

　　武際可：對(duì)。

　　觀 眾：并且講Hopf分岔的時(shí)候，我在聯(lián)想，請(qǐng)問(wèn)這個(gè) Hopf分岔與我們?nèi)松�，生老病死有沒(méi)有直接的關(guān)系，或者對(duì)人生關(guān)系有沒(méi)有什么指導(dǎo)意義？另外我想再請(qǐng)武老師展望一下，分岔科學(xué)對(duì)新的一世紀(jì)或者對(duì)全人類的一些展望，另外對(duì)我們年輕的想搞科學(xué)的學(xué)子或者是想搞分岔科學(xué)的提出一些有益的教導(dǎo)，謝謝。

　　主持人：我可以替武老師首先回答你關(guān)于愛(ài)情問(wèn)題的分岔道理，當(dāng)你面前有兩個(gè)女孩子，你娶了這個(gè)女孩子，可能她毀了你的一生，你娶了那個(gè)女孩子，可能她在后面推你，一直給你推到總統(tǒng)的位置。其他的我回答不了了。

　　武際可：你這個(gè)回答很妙，社會(huì)上也有很多分岔，只能用分岔的一些思想模模糊糊的去解釋，不能像自然科學(xué)和我剛才說(shuō)的很精確的預(yù)料是什么，我臨界的載荷是多少，是20公斤就一斤也不能多、一斤也不能少，這件事情兩個(gè)區(qū)別很大，所以借用分岔思想解釋一些社會(huì)現(xiàn)象呢，現(xiàn)在很多人都在嘗試，包括系統(tǒng)科學(xué)，什么好多自然科學(xué)的語(yǔ)言都進(jìn)入社會(huì)科學(xué)，這個(gè)咱們都可以看到。

　　主持人：這位網(wǎng)友人叫“楚狂人”，他說(shuō)“我知道您是力學(xué)研究家，我也知道許多力學(xué)家不僅在書(shū)齋和實(shí)驗(yàn)室里生活，而且也可能在社會(huì)上參與工程，原子彈和氫彈之父?jìng)兙褪侨绱耍�那我非常想知道，在我們祖�?guó)幅員遼闊的國(guó)土上，有哪些大工程有過(guò)您的汗水流淌？您老千萬(wàn)別謙虛，這是一個(gè)推銷自己的時(shí)代，謙虛是沒(méi)有好結(jié)果的�！�

　　武際可：我對(duì)電力事業(yè)有一點(diǎn)小小的貢獻(xiàn)，我們發(fā)電廠，大家學(xué)過(guò)普通物理的人都知道，發(fā)電廠要有發(fā)電機(jī)、水要冷卻，高端是560度大概，蒸氣進(jìn)來(lái)，低端冷卻得越冷，這個(gè)發(fā)電機(jī)的功率就越高，這個(gè)卡諾爾循環(huán)知道的，那么，要冷卻呢，大概現(xiàn)在就要冷卻水，水是熱溶量最大的，一秒鐘10萬(wàn)千瓦的電機(jī)的話，需要三立方米的水，我在冷卻塔的建設(shè)方面大概工作了有三十年。

　　主持人：您剛才那句話沒(méi)有說(shuō)出來(lái)，我估計(jì)您是說(shuō)除了南方，其他地方有冷卻塔的地方都有您的汗水。

　　武際可：冷卻塔，目前國(guó)內(nèi)所有的冷卻塔的計(jì)算程序都是用的我的程序。

　　主持人：對(duì)，人家“楚狂人”就是讓您把----

　　武際可：冷卻塔有一定的難度，因?yàn)樗�的直徑大概�?00多米，它的最薄的地方14公分，高度現(xiàn)在國(guó)內(nèi)到167米了，這樣高的一個(gè)薄殼結(jié)構(gòu)要不嚴(yán)格的按照力學(xué)原則去設(shè)計(jì)的話，會(huì)出各種各樣的問(wèn)題。1969年英國(guó)費(fèi)爾布瑞奇有一個(gè)地方，一場(chǎng)大概8級(jí)大風(fēng)，就和剛才的那個(gè)塔科姆橋一樣，8座冷卻塔當(dāng)中倒掉了3座，所以這是全世界的事故，發(fā)電廠停電，然后整個(gè)當(dāng)?shù)囟紨嚯�，而我們�?guó)家大概從我參加這一件事情以后，沒(méi)有出過(guò)一件事故。

　　主持人：好，謝謝武教授，在節(jié)目馬上就要結(jié)束的時(shí)候呢，咱們例行公事，還得用最后一句話問(wèn)您，就是您今天的講演題目叫“什么叫分岔”，那現(xiàn)在能不能用一句話告訴我什么叫分岔？只能說(shuō)一句話。

　　武際可：我想用這樣一句，“由于有了分岔，我們的世界才如此多樣化和豐富多彩和具有復(fù)雜性，所以分岔是值得研究的”。

　　主持人：盡管用得字?jǐn)?shù)很多，但還是一句話，是一個(gè)復(fù)句。好，謝謝您。

　　追求進(jìn)步，學(xué)術(shù)傾聽(tīng)，世紀(jì)大講堂向您道別，下周同一時(shí)間再會(huì)。

謝謝武教授、謝謝大家。（世紀(jì)大講堂）

相關(guān)熱詞搜索：分岔 武際可