張慶熊：弗雷格的邏輯和數(shù)學(xué)思想的哲學(xué)基礎(chǔ)

　　【提要】弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》中闡述了三條基本原理，這三條原理一方面說(shuō)明他為什么要構(gòu)造他的人工語(yǔ)言系統(tǒng)，另一方面說(shuō)明算術(shù)何以能夠建立在邏輯的基礎(chǔ)之上，這是從哲學(xué)的高度出發(fā)論證他的邏輯和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)。

　　弗雷格（Gottlob Friedrich Ludwig Frege，1848－1925）于1897年發(fā)表《概念文字：一種模仿算術(shù)語(yǔ)言構(gòu)造的純思維的形式語(yǔ)言》（Begriffsschrift，eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens）。這本薄薄的書(shū)可謂現(xiàn)代邏輯的開(kāi)山之作。它奠定了數(shù)理邏輯中的命題邏輯和一階謂詞邏輯的基礎(chǔ)。然而，對(duì)于這本邏輯史上劃時(shí)代的專(zhuān)著，在當(dāng)時(shí)卻少有人問(wèn)津。弗雷格反思其原因，認(rèn)為除人們對(duì)那陌生的符號(hào)系統(tǒng)望而生畏外，還不理解他為什么要構(gòu)造這一系統(tǒng)的理由。他在1884年發(fā)表了專(zhuān)著《算術(shù)基礎(chǔ)》（Grundlagen der Arithmetik）。在這本書(shū)中，他沒(méi)有使用數(shù)理邏輯的符號(hào)，而是哲學(xué)理論上論證他所構(gòu)造的人工語(yǔ)言系統(tǒng)的基本原理，指出嚴(yán)格區(qū)分心理的東西和邏輯的東西、主觀(guān)的東西和客觀(guān)的東西的必要性；
強(qiáng)調(diào)決不要忘記概念和客體之間的區(qū)別；
對(duì)當(dāng)時(shí)所流行的邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)中的心理主義展開(kāi)批判。他認(rèn)為邏輯是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)的概念可以被定義為邏輯的類(lèi)的概念，而類(lèi)則被看成概念的外延�？梢哉f(shuō)，《算術(shù)基礎(chǔ)》一書(shū)是弗雷格在哲學(xué)的方面為他的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的邏輯主義的方案奠定基礎(chǔ)。

　　弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》中所提出的原理一共只有三條，下面我們就結(jié)合考察這三條原理來(lái)評(píng)述弗雷格的邏輯和數(shù)學(xué)思想的哲學(xué)基礎(chǔ)。

　　一、邏輯規(guī)律的客觀(guān)性

　　在弗雷格所處的時(shí)代，邏輯研究中的心理主義占支配地位。按照這種心理主義的觀(guān)點(diǎn)，邏輯推理是一種思維的活動(dòng)，思維的活動(dòng)是一種心理的活動(dòng)，所以邏輯的規(guī)律可以還原為心理的規(guī)律，邏輯的真理是一種主觀(guān)的真理。弗雷格認(rèn)為，這種心理的觀(guān)點(diǎn)就如壓在邏輯和數(shù)學(xué)成長(zhǎng)之樹(shù)上的巨石一樣，為使邏輯和數(shù)學(xué)研究得以順利展開(kāi)，必須搬開(kāi)這塊巨石。為此，他在《算術(shù)哲學(xué)》導(dǎo)言中所列出的第一條原理就是：

　　“嚴(yán)格區(qū)分心理的東西和邏輯的東西、主觀(guān)的東西和客觀(guān)的東西�！盵1]

　　弗雷格認(rèn)為，這種心理主義的觀(guān)點(diǎn)混淆了邏輯本身和從事邏輯推理的心理活動(dòng)。一個(gè)人在從事邏輯推理的時(shí)候，確實(shí)發(fā)生心理的活動(dòng)。這種心理的活動(dòng)是主觀(guān)的活動(dòng)，是因人而異的。一個(gè)人的心理推論活動(dòng)可能正確，也可能錯(cuò)誤，但是邏輯規(guī)律本身則是不變的，邏輯的定理是永真的。有人可能把2＋2計(jì)算為5，但是2＋2＝4的真理性不以人的計(jì)算的心理活動(dòng)為轉(zhuǎn)移。

　　我們?nèi)绾蔚贸瞿骋粋�(gè)結(jié)論涉及一個(gè)心理活動(dòng)的過(guò)程，但是我們憑什么論證這一結(jié)論的正確性卻不能靠主觀(guān)的經(jīng)驗(yàn)和心理的規(guī)律。某一理論體系的創(chuàng)立是研究者的創(chuàng)造性的思維活動(dòng)的結(jié)果，這里涉及研究者的想象力等心理特性，但是對(duì)于這一理論體系的論證要依靠邏輯，邏輯并不是依研究者的心理特征為轉(zhuǎn)移的。所以弗雷格強(qiáng)調(diào)：

　　“因此，擺在我們面前的一個(gè)普遍問(wèn)題是分清我們?nèi)绾潍@得一個(gè)判斷的內(nèi)容和我們憑什么論證我們的斷言”。[2]

　　弗雷格終其一生都在與心理主義作斗爭(zhēng)。在其晚年的“思想”一文中，再次強(qiáng)調(diào)要抵制心理主義的誘惑，要分清把某物看作真的心理過(guò)程和對(duì)把某物看作真這一過(guò)程的證明。他寫(xiě)道：“根據(jù)心理學(xué)定律，把假看作真和把真看作真這兩種情況都會(huì)出現(xiàn)。從這些情況進(jìn)行的推導(dǎo)和對(duì)把某物看作真所經(jīng)歷的心理過(guò)程的說(shuō)明，絕不能代替對(duì)把某物看作真所相關(guān)的證明”。[3]

　　弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》中，主要考慮的數(shù)的客觀(guān)性的問(wèn)題。他認(rèn)為，數(shù)像外部世界中的對(duì)象一樣是客觀(guān)的東西，數(shù)的存在不依賴(lài)于人的主觀(guān)意識(shí)是否想到它們，正如外部世界中的對(duì)象的存在不依賴(lài)于人是否感知到它們一樣。數(shù)不是像人的情感一樣的心理的東西，數(shù)不是當(dāng)人思考數(shù)的心理活動(dòng)發(fā)生的時(shí)候就發(fā)生，停止的時(shí)候就停止的心理活動(dòng)的伴隨現(xiàn)象，而是客觀(guān)存在的對(duì)象。他認(rèn)為：

　　“數(shù)不是心理學(xué)的對(duì)象或心理過(guò)程的結(jié)果，正如北海不是這樣的對(duì)象或結(jié)果一樣�！盵4]

　　當(dāng)人們說(shuō)“北海的面積約一萬(wàn)平方?jīng)伞睍r(shí)，所斷言的是一個(gè)客觀(guān)的事實(shí)。北海的大小不依賴(lài)于人們的主觀(guān)印象，不會(huì)因?yàn)槟承┤烁杏X(jué)到它大些而大些，或感覺(jué)到它小些而小些。同樣，這個(gè)判斷的真值取決于它是否符合北海面積的客觀(guān)事實(shí)。如果它不符合，那么它就是假的；
反之，則真的。如果把數(shù)僅僅當(dāng)作主觀(guān)的表象的話(huà)，那么當(dāng)人的意識(shí)中浮現(xiàn)出數(shù)的表象的時(shí)候，數(shù)就存在；
不浮現(xiàn)出數(shù)的表象的時(shí)候，數(shù)就不存在。然而，北海面積約一萬(wàn)平方?jīng)蛇@個(gè)事實(shí)則不依賴(lài)于人有關(guān)它的思想活動(dòng)的產(chǎn)生而產(chǎn)生，停止而停止。即使從來(lái)沒(méi)有想到過(guò)北海，北海面積的數(shù)量關(guān)系依然是客觀(guān)的存在。這種數(shù)量關(guān)系不是人的主觀(guān)想象的產(chǎn)物，正如北海本身不是人的主觀(guān)想象的產(chǎn)物一樣。人不是發(fā)明數(shù)量關(guān)系，而是發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。

　　弗雷格還認(rèn)為，把數(shù)理解為人的主觀(guān)的表象會(huì)導(dǎo)致荒謬的結(jié)論。因?yàn)槿说谋硐笫歉鞑幌嗤�的。即使兩個(gè)人看同一樣?xùn)|西，鑒于他們的視力的不同，所處的位置的不同，心理狀況的不同，會(huì)產(chǎn)生不同的視覺(jué)表象。如果說(shuō)數(shù)是人的表象的話(huà)，那些對(duì)于甲來(lái)說(shuō)某物的面積就可以不同于對(duì)于乙來(lái)說(shuō)某物的面積。對(duì)于甲來(lái)說(shuō)2＋2＝4，對(duì)于乙來(lái)說(shuō)就可以2＋2＝5。這當(dāng)然是荒唐的。再之，不同人之間的表象不可相互直接比較。我不知道你的表象，你不知道我的表象。你的表象不可以移植到我的頭腦中來(lái)。在我的頭腦中的關(guān)于你的表象，實(shí)際上不是你的表象，而是我表象。然而，數(shù)量關(guān)系是可以相互比較的。數(shù)學(xué)的真理具有普遍的有效性。盡管不同的人對(duì)某一數(shù)量關(guān)系的主觀(guān)表象可能不同，但他們都必須承認(rèn)這一數(shù)量關(guān)系的客觀(guān)的真理性。

　　弗雷格意識(shí)到，數(shù)的存在與物的存在具有不同的特點(diǎn)。物是在時(shí)間和空間中存在的東西，而數(shù)不是在時(shí)間和空間中的存在的東西。我們可以說(shuō)某宮殿造于某時(shí)某地，毀于某時(shí)某地；
但不可以說(shuō)，某數(shù)產(chǎn)生于某時(shí)某地，消失于某時(shí)某地。然而，物和數(shù)又都是客觀(guān)存在的東西。有鑒于此，弗雷格把物稱(chēng)為“客觀(guān)實(shí)在的東西”（das objektiv Wirkliche），把數(shù)稱(chēng)為“客觀(guān)非實(shí)在的東西”（das objektiv Nichtwirkliche）。在此，實(shí)在的東西就是指在時(shí)空中存在的東西；
非實(shí)在的東西就是指不是在時(shí)空中存在的東西。

　　弗雷格和胡塞爾都是十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)初奮起反對(duì)邏輯研究中的心理主義觀(guān)點(diǎn)的代表人物。有鑒于弗雷格的《算術(shù)基礎(chǔ)》發(fā)表于1884年，早于胡塞爾的《邏輯研究》第一卷（1900年）。而且，在此之前，胡塞爾持心理主義的觀(guān)點(diǎn)，在弗雷格的影響之下他轉(zhuǎn)而反對(duì)心理主義。所以，弗雷格在反心理主義方面的貢獻(xiàn)具有特別重大的哲學(xué)意義。

　　二、語(yǔ)言運(yùn)用的基本單位是句子

　　在以往的語(yǔ)言理論中，人們習(xí)慣于把詞當(dāng)作語(yǔ)言運(yùn)用的基本單位。弗雷格發(fā)現(xiàn)，詞的意義離不開(kāi)它們?cè)诰渥又械墓τ�。脫離了詞在句子中的前后關(guān)系，就不可能把握詞的意義。因此他主張，語(yǔ)言運(yùn)用的基本單位不是詞而是句子。

　　弗雷格認(rèn)為這一關(guān)于詞的意義的語(yǔ)境觀(guān)點(diǎn)很重要，在他的《算術(shù)哲學(xué)》中，這被確立為他的邏輯和數(shù)學(xué)思想的第二條原理：

　　“必須在句子的關(guān)聯(lián)中尋問(wèn)詞的意義，而不是孤立地尋問(wèn)詞的意義。”[5]

　　弗雷格論證，單獨(dú)的一個(gè)詞無(wú)法確定其意義。就拿語(yǔ)言中最常用的一個(gè)詞“是”來(lái)說(shuō)，它在不同的語(yǔ)句的關(guān)聯(lián)中具有不同的意義。在“晨星是行星”中，“是”表示一種歸屬關(guān)系，即晨星歸屬于行星。在“晨星是金星”中，“是”表示某種同一的關(guān)系，即晨星和金星指稱(chēng)同一個(gè)對(duì)象。因此，只有在一個(gè)特定的句子中，我們根據(jù)“是”這個(gè)系動(dòng)詞所處的上下關(guān)系，才能確定它究竟表示歸屬關(guān)系，還是表示某種同一關(guān)系。

　　弗雷格主張?jiān)~的意義的語(yǔ)境原則還與他反對(duì)心理主義的立場(chǎng)有關(guān)。按照當(dāng)時(shí)流行的“意義的指稱(chēng)理論”，一個(gè)詞的意義在于它所指稱(chēng)的對(duì)象。心理主義者設(shè)想，既然表達(dá)邏輯和數(shù)學(xué)概念的那些詞在外部世界中不存在所指稱(chēng)的對(duì)象，那些它們就指稱(chēng)內(nèi)在于意識(shí)中的東西，即心理的表象。弗雷格認(rèn)為，我們并沒(méi)有數(shù)的心理的表象。對(duì)于“一千”和“一百萬(wàn)”這兩個(gè)數(shù)，我并沒(méi)有一個(gè)較小的“一千”的表象和一個(gè)較大的“一百萬(wàn)”的表象。我們是根據(jù)數(shù)學(xué)的規(guī)律知道一百萬(wàn)是一千的一千倍。同樣，對(duì)于數(shù)學(xué)和邏輯中的運(yùn)算符號(hào)的意義，如“加”、“減”、“乘”、“除”、“等于”、“同一”、“歸屬”等，我們并不是根據(jù)其相對(duì)的心理的表象來(lái)知道它們的意義的，而是根據(jù)定義和它們?cè)诰渥又械挠梅▉?lái)知道它們的意義的。

　　既然“數(shù)”等“客觀(guān)的非實(shí)在的東西”沒(méi)有心理的表象，那么它們的意義何在呢？弗雷格決不想否定它們的意義，而且弗雷格也不想完全否定意義的指稱(chēng)理論。弗雷格認(rèn)為，問(wèn)題是出在孤立地考察詞的意義。如果我們?cè)谝粋�(gè)完整的句子中來(lái)考察詞的意義，情況就會(huì)完全不同。

　　弗雷格這里所考慮的句子，是指判斷句，即邏輯中所說(shuō)的命題。他認(rèn)為，在此可以區(qū)分二類(lèi)命題，一類(lèi)是分析命題，另一類(lèi)是綜合命題。分析命題是根據(jù)邏輯的規(guī)律和定義就能知道其真假的命題。綜合命題則要根據(jù)與事實(shí)的對(duì)照才能知道其真假。在對(duì)分析命題的論證中，我們不需要求助于事實(shí)，只要看它是否符合邏輯規(guī)律和定義就夠了。在對(duì)綜合命題的論證中，單靠規(guī)律和定義還不夠，還需要求助于事實(shí)。這里所說(shuō)的規(guī)律是指本身既不需要也不允許證明的規(guī)律，即自明的規(guī)律。

　　因此，對(duì)于分析命題中所涉及的詞的意義，我們是根據(jù)規(guī)律和定義來(lái)理解的。由于定義和規(guī)律必然要用句子來(lái)表達(dá)，所以只有在句子中才能弄清楚分析命題所涉及的概念的意義。在此我們不應(yīng)孤立地追問(wèn)它們所指的對(duì)象，而是要通過(guò)分析在它所在句子中的用法來(lái)了解它們的規(guī)律和定義。在這里，不需要也不應(yīng)該依靠意義的指稱(chēng)理論。換句話(huà)說(shuō)，意義的指稱(chēng)理論不適用于分析命題。

　　對(duì)于綜合命題來(lái)說(shuō)，弗雷格認(rèn)為意義的指稱(chēng)理論還是有用武之地的。雖然孤立地尋問(wèn)詞所指稱(chēng)的對(duì)象，我們往往找不到許多抽象的詞所指稱(chēng)的對(duì)象，但是綜合命題必定與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)相關(guān)聯(lián)。由于綜合命題涉及事實(shí)，所以綜合命題是通過(guò)與事實(shí)的對(duì)照來(lái)確定其真假的。因此，綜合命題的意義在于它的真值條件。由于單個(gè)的詞不能確定其真值條件，只有句子才能確定其真值條件，所以句子才是意義的基本單位。一旦句子的意義得到確立，我們就有可能通過(guò)詞在句子中的用法，來(lái)理解詞的意義。

　　總而言之，弗雷格看到了意義的指稱(chēng)理論的局限性，從而主張用意義的語(yǔ)境原則來(lái)取代意義的指稱(chēng)理論。意義的指稱(chēng)理論或許適用于表達(dá)外在世界中的對(duì)象的專(zhuān)名，但不適用于抽象的詞，特別是那些表達(dá)數(shù)和邏輯的概念的詞。如果強(qiáng)求在詞的意義問(wèn)題上貫徹這種指稱(chēng)理論，就會(huì)陷入心理主義的泥潭，就會(huì)誘使我們把內(nèi)在的心理表象當(dāng)作那些詞所指稱(chēng)的東西。然而事實(shí)上，并不存在那樣的心理的表象。所以弗雷格在區(qū)分分析命題和綜合的基礎(chǔ)上，把意義的指稱(chēng)修正為意義的語(yǔ)境原則。弗雷格的意義的語(yǔ)境原則并不完全排斥意義的指稱(chēng)理論，而是把它擴(kuò)展為句子的意義取決于它的真值條件的理論。分析命題的真值條件是其相關(guān)的邏輯規(guī)則和定義。綜合命題的真值條件是其相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)。所以句子才是意義的基本單位，詞的意義要在句子的關(guān)聯(lián)中去理解。

　　弗雷格的這一思想直接影響到維特根斯坦和羅素的關(guān)于基本命題（原子命題）是語(yǔ)言的基本單位的思想，以及命題與事實(shí)的關(guān)系的思想，并影響到維也納學(xué)派的意義理論和證實(shí)標(biāo)準(zhǔn)。

　　三、區(qū)分概念和對(duì)象以及概念的等級(jí)

　　弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》中列出的第三條原理（總共三條原理中的最后一條原理）是區(qū)分概念和對(duì)象：

　　“要時(shí)刻看到概念和對(duì)象的區(qū)別�！盵6]

　　弗雷格所說(shuō)的概念和對(duì)象有著專(zhuān)門(mén)的含義，是他通過(guò)把數(shù)學(xué)中的函數(shù)和自變?cè)�與我們的語(yǔ)言中的判斷句的構(gòu)成成分進(jìn)行有效的類(lèi)比后引入的術(shù)語(yǔ)。讓我們來(lái)看以下一組數(shù)學(xué)中的表達(dá)式：

　　12、22、32、42、52 ……

　　這組表達(dá)式可以分為二個(gè)部分：（1）函數(shù)表達(dá)式：( )2；
（2）自變?cè)�表達(dá)式：1、2、3、4、5等。

　　一個(gè)函數(shù)表達(dá)式的最主要的標(biāo)志是它的不完全性或可填補(bǔ)性，這一特征由括號(hào)表示出來(lái)。只有當(dāng)一個(gè)函項(xiàng)表達(dá)式與一個(gè)自變?cè)�相結(jié)合時(shí)，即由一個(gè)自變?cè)�填補(bǔ)函數(shù)的括號(hào)時(shí)，它們才共同構(gòu)成一個(gè)完整的表達(dá)式。(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　弗雷格把函數(shù)刻畫(huà)為“不飽和的”（unges?ttigt），把自變?cè)�刻�?huà)為“飽和的”（ges?ttigt）。

　　弗雷格認(rèn)為，一個(gè)語(yǔ)句也可以折分為類(lèi)似于函數(shù)和自變?cè)�的二個(gè)成分。在句子“蘇格拉底是哲學(xué)家”中，我們可以折分為“（ ）是哲學(xué)家”和“蘇格拉底”兩個(gè)部分。前者是函項(xiàng)，后者是自變?cè)�。蘇格拉底可由柏拉圖、亞里士多德代替，去充實(shí)“（ ）是哲學(xué)家”這一函項(xiàng)。

　　正是從這一思路出發(fā)，弗雷格區(qū)分概念和對(duì)象。概念詞是在句子中起著函項(xiàng)功能的詞，對(duì)象詞是在句子中起著自變?cè)�功能的詞。以上例子中的“（ ）是哲學(xué)家”為概念詞，“蘇格拉底”等為對(duì)象詞。概念詞表達(dá)概念，對(duì)象詞表達(dá)對(duì)象。正如數(shù)學(xué)中的函數(shù)的自變?cè)�有一個(gè)取值范圍一樣，句子中與概念詞相對(duì)應(yīng)的對(duì)象詞也有一個(gè)取值范圍。在數(shù)學(xué)表達(dá)式( )2中，填入某一個(gè)數(shù)字，例如2，這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)有意義的表達(dá)式，但是如果填入的不是數(shù)字，如填入“＝”，則成為沒(méi)有意義的表達(dá)式。同樣，在句子中，相對(duì)于概念詞“（ ）是哲學(xué)家”，填入某一個(gè)人，例如蘇格拉底，構(gòu)成一個(gè)有意義的句子，但如填入“紅”、“3”等不屬于它的取值范圍的詞，則成為無(wú)意義的句子。

　　一個(gè)函數(shù)方程式的真假取決于所填入的自變?cè)�的�?shù)值，如對(duì)于“( )2＝4”來(lái)說(shuō)，填入“2”或“－2”該方程式為真，否則為假。一個(gè)命題函項(xiàng)也是這樣。例如，對(duì)于“（ ）殺了凱撒”來(lái)說(shuō)，填入“布魯修斯”為真，否則為假。

　　對(duì)象詞與概念詞的關(guān)系是相對(duì)的。什么詞是對(duì)象詞，完全取決于與之相對(duì)應(yīng)的概念詞。離開(kāi)了概念詞，我們不知道對(duì)象詞的取值范圍。只有當(dāng)概念詞和對(duì)象詞組成有意義的結(jié)合，即把適當(dāng)?shù)膶?duì)象詞填入不飽和的概念詞之中，構(gòu)成充實(shí)的句子之后，我們才能判斷其真假。

　　弗雷格不僅注意到，概念與對(duì)象之間關(guān)系是相對(duì)的，而且注意到概念本身也可區(qū)分不同的等級(jí)。這種概念與對(duì)象之間的區(qū)分、概念等級(jí)的區(qū)分必須相對(duì)于語(yǔ)言的應(yīng)用而確定，即必須遵循語(yǔ)境的原則。

　　同樣的一個(gè)詞，在不同的語(yǔ)句中，可以被視為對(duì)象詞，也可以被視為概念詞，甚至是第二級(jí)的概念詞。舉例來(lái)說(shuō)，在語(yǔ)句“3是一個(gè)數(shù)”中，“3”是一個(gè)對(duì)象詞。然而，在語(yǔ)句“這里有3匹馬中”，“3”就不是一個(gè)對(duì)象詞，而是一個(gè)概念詞，并且是一個(gè)第二級(jí)的概念詞。

　　弗雷格是如何區(qū)分概念的等級(jí)的呢？讓我們說(shuō)明他的思路。句子“這里有3匹白馬”表達(dá)這里存在3個(gè)個(gè)體，它們是馬，并且它們是白色的。我們當(dāng)然也可以分別用一個(gè)不帶馬字的專(zhuān)名來(lái)代替它們。我們可以用“馬甲”、“馬乙”、“馬丙”來(lái)表示它們。為表述方便，我們權(quán)且把“馬甲”、“馬乙”、“馬丙”當(dāng)作專(zhuān)名，分別指稱(chēng)個(gè)體的馬。在這里，馬甲、馬乙、馬丙是對(duì)象，而馬是概念。弗雷格發(fā)現(xiàn)，句子“馬甲是馬”是有意義的，句子“馬甲是白色的”以及“馬甲是白馬”也是有意義的，但是說(shuō)“馬甲是3”則無(wú)意義。在以上句子中，用“馬乙”或“馬丙”代替“馬甲”情況也是一樣。弗雷格追問(wèn)為什么會(huì)造成前一種表達(dá)式有意義，而后一種表達(dá)式無(wú)意義的原因。答案是馬甲、馬乙、馬丙具有馬的屬性和白的屬性，而不具有“3”的屬性。3不可能是任何個(gè)體的對(duì)象的屬性。那么“3”在此的含義是什么呢？“3”在此不是用來(lái)表達(dá)馬的屬性，而是針對(duì)馬的群（馬的個(gè)體的組合）而說(shuō)的，即這群馬有三匹，或這個(gè)組合有三個(gè)個(gè)體。因此在句子“這里有3匹白馬”中包含二個(gè)等級(jí)的概念詞；
第一等級(jí)的概念詞是“馬”，“白”或“白馬”，第二等級(jí)的概念詞是3�！榜R甲”、“馬乙”“馬丙”是“馬”、“白”或“白馬”的對(duì)象詞，3的對(duì)象詞則是這個(gè)白馬的群，表達(dá)這個(gè)群（這個(gè)組合）有3個(gè)個(gè)體，是一個(gè)3元組合。

　　從表面上看，在“3匹白馬”這一表達(dá)中，3和白雖然都作為形容詞用，但有著以下重大差別。白刻劃屬性，而3表達(dá)存在的個(gè)體的數(shù)量。因此“3匹白馬”包含著“這些馬是白的”和“這群馬有3匹”這二層意思。系動(dòng)詞“是”用來(lái)刻畫(huà)馬的屬性，“有”則表達(dá)存在。當(dāng)我們指出某物的屬性的時(shí)候，并不意謂著斷定某物的存在。但是當(dāng)我們使用量詞的時(shí)候，常包含斷定存在的意思。量詞的概念往往與存在的概念聯(lián)系在一起。弗雷格的分析表明，作為形容詞使用的量詞是一個(gè)第二級(jí)的概念詞，存在也是一個(gè)第二級(jí)的概念。量詞在此用來(lái)表達(dá)某一類(lèi)東西的個(gè)體的數(shù)量，“存在”則指出這些個(gè)體的存在。說(shuō)某某東西存在，并不是在刻畫(huà)這個(gè)東西的屬性，而是表達(dá)了另一個(gè)層次上的意思，即表達(dá)相關(guān)的個(gè)體的存在�？档乱呀�(jīng)意識(shí)到“存在”不是一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹^詞。弗雷格對(duì)此的分析則進(jìn)了一步。弗雷格用概念詞來(lái)取代含義不清的謂詞，并區(qū)分了概念詞的等級(jí)，使語(yǔ)言中的有關(guān)數(shù)量和存在的概念得到更加明確的表達(dá)。

　　在弗雷格那里，數(shù)學(xué)和邏輯是相通的，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是邏輯，他認(rèn)為他所構(gòu)造的邏輯哲學(xué)的基本原理也就是他的數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本原理。弄清楚弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》所提出的基本原理，不僅對(duì)于理解他為什么和依據(jù)什么建立他的形式語(yǔ)言系統(tǒng)，而且對(duì)于理解他為什么主張純數(shù)學(xué)可以還原為邏輯的思想都十分重要。

　　研究弗雷格的哲學(xué)思想，對(duì)于弄清楚分析哲學(xué)的淵源具有重大意義。弗雷格沒(méi)有自命為哲學(xué)家，他沒(méi)有什么哲學(xué)派系觀(guān)點(diǎn)。他只是在研究邏輯、數(shù)學(xué)和語(yǔ)言的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了一些與哲學(xué)相關(guān)的重大問(wèn)題。為解決這些問(wèn)題，他摸索各種解決辦法，他沒(méi)有固定的哲學(xué)套路，也沒(méi)有自成體系的哲學(xué)術(shù)語(yǔ)。有時(shí)他為了表達(dá)自己的觀(guān)點(diǎn)，不得不創(chuàng)造一些術(shù)語(yǔ)，如“概念詞”、“對(duì)象詞”等。他對(duì)這些術(shù)語(yǔ)的用法，與人們通常的用法有所不同，這造成了閱讀他的著作時(shí)理解上的困難。但是他創(chuàng)造這些術(shù)語(yǔ)自有他的苦心，這是遇到新問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)新思想時(shí)常會(huì)出現(xiàn)的情況。一旦人們了解了他的思路，就會(huì)領(lǐng)會(huì)這些術(shù)語(yǔ)的奧秘。

　　弗雷格在研究邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題時(shí)所探討的哲學(xué)問(wèn)題，在今天被稱(chēng)為邏輯哲學(xué)、數(shù)學(xué)哲學(xué)、語(yǔ)言哲學(xué)。今天的分析哲學(xué)家已經(jīng)看清楚，邏輯和人工語(yǔ)言不是脫離哲學(xué)而獨(dú)自存在的，邏輯和人工語(yǔ)言本身都有它們的元哲學(xué)的問(wèn)題。但是在上個(gè)世紀(jì)30年代至50年代，當(dāng)分析哲學(xué)處于全盛時(shí)期時(shí)，邏輯實(shí)證主義的分析哲學(xué)家提出通過(guò)邏輯分析和語(yǔ)言批判消解哲學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，他們沒(méi)有看到或“忘記了”作為分析哲學(xué)的鎮(zhèn)山之寶的數(shù)理邏輯和人工語(yǔ)言是伴隨著與其相關(guān)的邏輯哲學(xué)、數(shù)學(xué)哲學(xué)和語(yǔ)言哲學(xué)一起產(chǎn)生的。

　　弗雷格為了建立他的以命題邏輯和謂詞邏輯為基礎(chǔ)的人工語(yǔ)言，不得不對(duì)日常語(yǔ)言的諸多用法進(jìn)行規(guī)范。他一方面認(rèn)識(shí)到日常語(yǔ)言的缺陷和他所建立的人工語(yǔ)言對(duì)于澄清日常語(yǔ)言的缺陷具有重大幫助，另一方面他也充分意識(shí)到他的人工語(yǔ)言不能取代日常語(yǔ)言的全部功能。弗雷格首先探討了語(yǔ)句的認(rèn)識(shí)價(jià)值和真值的關(guān)系問(wèn)題。他主張對(duì)語(yǔ)句的真值的尋問(wèn)固然具有重大的認(rèn)識(shí)意義，但是語(yǔ)句的認(rèn)識(shí)價(jià)值并不僅僅在于語(yǔ)句的真值，它應(yīng)該包括對(duì)語(yǔ)句的涵義理解和對(duì)所指的真值的尋問(wèn)這兩個(gè)方面。但是，許多從弗雷格的思想中得到啟發(fā)并使用弗雷格所開(kāi)發(fā)的人工語(yǔ)言的分析哲學(xué)家，卻把弗雷格的思想簡(jiǎn)單化了。他們片面夸大了人工語(yǔ)言的作用，并主張語(yǔ)句的意義就是語(yǔ)句的真值條件。這特別表現(xiàn)在作為邏輯實(shí)證主義的基本綱領(lǐng)的“意義標(biāo)準(zhǔn)”和“證實(shí)原則”中。

　　仔細(xì)閱讀弗雷格的著作，可以發(fā)現(xiàn)許多分析哲學(xué)的觀(guān)點(diǎn)的來(lái)源，可以從源頭上把握分析哲學(xué)發(fā)展的思想脈絡(luò)。在今天，當(dāng)分析哲學(xué)走過(guò)了一百年迂回曲折道路，再?gòu)脑搭^上來(lái)思考它所發(fā)現(xiàn)的諸多問(wèn)題和尋求的解決方案時(shí)，弗雷格哲學(xué)的偉大意義將更充分地顯示出來(lái)。

　　注釋?zhuān)?/p>

　　[1] G. Frege，Die Grundlage der Arithmetik. Eine Logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl（《算術(shù)基礎(chǔ)：對(duì)數(shù)的概念的邏輯數(shù)學(xué)的研究》），Breslau 1884，第23頁(yè)。

　　[2] 同上，第27頁(yè)。

　　[3] G. Frede，Der Gedanke，Philosophie des deutschen Idealismus；
I. Band（1918/ 19），第 58－59頁(yè)；
引自G. Frege，Kleine Schriften，Damstadt 1967，第342頁(yè)。

　　[4] 同上，第56頁(yè)。

　　[5] 同上，第23頁(yè)。

　　[6] Frege，Die Grundlage der Arithmetik，第23頁(yè)。

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