例談函數(shù)奇偶性應用中的兩類求值問題

　　函數(shù)奇偶性是函數(shù)的主要性質，在解題中運用很廣泛，下面就結合具體例子談一談關于函數(shù)奇偶性應用中的兩類求值問題。
　　一、利用函數(shù)的奇偶性直接求值
　　例1：f（x）是R上的奇函數(shù)，x∈（0，+∞）的解析式為f（x）=■.求f（-1）的值.
　　解1：∵f（x）是R上的奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x），則f（-1）=-f（1）
　　∵f（x）=■，x∈（0，+∞） ∴f（1）=■
　　∴f（-1）=-f（1）=-■
　　解2：設x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），∴f（-x）=■=■
　　∵f（x）是R上的奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x），則f（x）=-f（-x）=
　　-■=■
　　則x∈（-∞，0）的函數(shù)解析式為f（x）=■，∴f（-1）=■=-■
　　點評：利用函數(shù)的奇偶性求值主要是將未知的值或區(qū)間轉化為已知的值或區(qū)間變式：設f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=■，求函數(shù)f（2）、g（2）的值.
　　解∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，
　　∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），由f（x）+g（x）=■①
　　用-x代換x得f（-x）+g（-x）=■，
　　∴f（x）-g（x）=■②
　�。á�+②）÷2，得f（x）=■；則f（2）=■
　�。á�-②）÷2，得g（x）=■.則g（2）=■
　　例2：已知x，y∈R滿足（x-1）3+2018（x-1）=-1，（y-1）3+2018（y-1）=1，求x+y的值.
　　解：設g（t）=t3+2018t，而且容易知道g（-t）=-g（t），∴g（t）在R上是奇函數(shù)
　　∵（x-1）3+2018（x-1）=-1 ∴g（x-1）=-1
　　∵（y-1）3+2018（y-1）=1 ∴g（y-1）=1
　　g（x-1）=-g（y-1）
　　則∴x-1=-（y-1）
　　∴x+y=2
　　點評：觀察式子特點，將x-1，y-1視為一個整體構造函數(shù)g（t）=t3+2018t，再利用函數(shù)的奇偶性找到x-1，y-1的關系，進而求出x+y=2
　　以上兩例都是已知或可證明函數(shù)的奇偶性解決求值問題，下面若是遇見非奇非偶函數(shù)可以間接處理。
　　二、利用函數(shù)的奇偶性間接求值
　　例3：f（x）=ax3+bx+c3■+8且f（-2）=10，求f（2）的值
　　解：設g（x）=f（x）-8，則g（x）=ax3+bx+c3■是在R上的奇函數(shù)
　　g（-2）=f（-2）-8=10-8=2，
　　∴g（2）=-g（-2）=-2
　　又∵g（2）=f（2）-8
　　∴-2=f（2）-8
　　則f（2）=8-2=6
　　點評：例題中雖然函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，但觀察表達式可以發(fā)現(xiàn)其間存在奇偶性的表達式，所以可將f（x）=g（x）-8轉化為奇函數(shù)g（x）求值從而間接求出f（2）的值。
　　例4：已知f（x）=x3+3x2+6x+14，f（a）=1，f（b）=19，求a+b的值
　　解：∵f（x）=x3+3x2+6x+14=（x+1）3+3（x+1）+10
　　∵f（a）=（a+1）3+3（a+1）+10=1
　　f（b）=（b+1）3+3（b+1）+10=19
　　∴（a+1）3+3（a+1）=-9
　　∴（b+1）3+3（b+1）=9
　　設g（t）=t3+t，而且g（t）在R上是奇函數(shù)，則a+1=
　　-（b+1），∴a+b=-2
　　點評：本題通過巧妙構造新的“準奇偶性”的函數(shù)來解決函數(shù)中的求值問題，這種利用奇偶性構造方法在以后的學習中是常用的方法。
　��？誗編輯 張珍珍

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